Question

Доведіть що при будь якому натуральному n>1 значення виразу 3^3n-1 ділиться на 13

Answer 1

Звісно! Давай розглянемо вираз \(3^{3n}-1\). Якщо ми взяємо n будь-яким натуральним числом більше 1, ми можемо розглянути вираз у вигляді \(3^{3n} - 1\).

Розглянемо різницю куба числа і одиниці: \(3^{3n} - 1\). Це можна представити як різницю кубів:

\[ (3^n)^3 - 1^3 \]

Застосуємо формулу різниці кубів: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \), де в даному випадку \( a = 3^n \) і \( b = 1 \):

\[ (3^n)^3 - 1^3 = (3^n - 1)((3^n)^2 + 3^n + 1) \]

Тепер, якщо ми розглянемо вираз \( (3^n - 1)((3^n)^2 + 3^n + 1) \), ми можемо помітити, що кожен з множників є цілим числом. Таким чином, якщо вираз \(3^{3n} - 1\) ділиться на 13, то і вираз \( (3^n - 1)((3^n)^2 + 3^n + 1) \) також ділиться на 13.

Отже, при будь-якому натуральному значенні n > 1 вираз \(3^{3n} - 1\) ділиться на 13.