Question

Докажите что при любом натуральном n значение выражения 10^n+19^n-2 будет кратно 9​

Answer 1

Ответ:

по теореме Эйлера:

1) при делении 10 на 9  ---> остаток 1,  

 заменяем 10 на остаток=1, имеем 1^n

2)  при делении 19 на 9 имеем остаток 1, заменяем 19 на 1,

    имеем 1^n

3)  при делении 2 на 9 ----> остаток 2

   остаток =

1^n+1^n-2=1+1-2=0

вывод:       остаток =0, значит данное выражение кратно 9.

Объяснение:

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение 10^n + 19^n - 2 будет кратно 9 при любом натуральном n, давайте разложим это выражение на множители.

Сначала рассмотрим выражение 10^n. Мы знаем, что 10 = 9 + 1. Поэтому 10^n = (9 + 1)^n. По биному Ньютона, разложим это выражение:

(9 + 1)^n = C(n,0)*9^n*1^0 + C(n,1)*9^(n-1)*1^1 + ... + C(n,n-1)*9^1*1^(n-1) + C(n,n)*9^0*1^n

Так как все члены разложения, кроме первого и последнего, содержат множитель 9, то все они будут кратны 9.

Теперь рассмотрим выражение 19^n. Аналогично, мы можем представить 19 как 18 + 1. Тогда 19^n = (18 + 1)^n. Используя бином Ньютона, разложим это выражение:

(18 + 1)^n = C(n,0)*18^n*1^0 + C(n,1)*18^(n-1)*1^1 + ... + C(n,n-1)*18^1*1^(n-1) + C(n,n)*18^0*1^n

Так как все члены разложения, кроме первого и последнего, содержат множитель 18, то все они также будут кратны 9.

Теперь рассмотрим выражение 10^n + 19^n - 2. Мы знаем, что оба выражения 10^n и 19^n будут кратны 9. Поэтому их сумма также будет кратна 9. Также 2 не влияет на кратность 9, поэтому выражение 10^n + 19^n - 2 также будет кратно 9 при любом натуральном n.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения 10^n + 19^n - 2 будет кратно 9 при любом натуральном n.