Question

Розв'яжи рівняння а) 2^x+2^x-3=72 б) 9^x-2*3^x=63​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\1)\\\\2^{x} +2^{x-3} =72\\\\\\2^{x-3}\cdot(2^{3} +1)=72\\\\\\2^{x-3} \cdot(8+1)=72\\\\\\2^{x-3} \cdot 9=72\\\\\\2^{x-3} =8\\\\\\2^{x-3} =2^{3} \\\\\\x-3=3\\\\\\\boxed{x=6}$

$\displaystyle\bf\\2)\\\\9^{x} -2\cdot 3^{x} =63\\\\\\3^{2x} -2\cdot 3^{x} -63=0\\\\\\3^{x} =m \ \ ; \ \ m > 0\\\\\\m^{2} -2m-63=0\\\\D=(-2)^{2} -4\cdot(-63)=4+252=256=16^{2} \\\\\\m_{1} =\frac{2+16}{2} =\frac{18}{2} =9\\\\\\m_{2} =\frac{2-16}{2} =\frac{-14}{2} =-7 < 0 \ -ne \ podxodit\\\\\\3^{x} =9\\\\\\3^{x} =3^{2}\\\\\\\boxed{x=2}$

Answer 2

Звісно, давайте розв'яжемо обидва рівняння:

а) \(2^x + 2^{x-3} = 72\)

Спробуємо скористатися фактом, що \(2^3 = 8\), тобто \(2^{x-3} = \frac{1}{8} \cdot 2^x\).

Підставимо це у рівняння:

\[2^x + \frac{1}{8} \cdot 2^x = 72\]

Зведемо до спільного знаменника:

\[\frac{8}{8} \cdot 2^x + \frac{1}{8} \cdot 2^x = 72\]

Отримаємо:

\[\frac{9}{8} \cdot 2^x = 72\]

Помножимо обидві сторони на \(\frac{8}{9}\), щоб позбутися дробу:

\[2^x = 64\]

Тепер виражаємо \(x\):

\[x = \log_2{64} = 6\]

Отже, рішення першого рівняння \(x = 6\).

б) \(9^x - 2 \cdot 3^x = 63\)

Спробуємо представити 63 так, щоб отримати якесь ступеневе вираження:

\[9^x - 2 \cdot 3^x = 9^2 - 2 \cdot 3^2\]

Отримаємо:

\[81 - 18 = 63\]

Отже, якщо \(x = 2\), то рівняння виконується.

Отже, рішення другого рівняння \(x = 2\).