Question

Найти точки экстремума функции y=3-5x^2 y=x^3+3x^2 y=3x^4+4x^3-12x^2 y=2/x+x/3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=3-5x²

y' = -10x = 0 ⇒ x = 0  ⇒ (0;3)

y=x³+3x²

y' = 3x² - 6x = 0

x₁ = 0   x₂ = 2  ⇒ (0; 0) и (2; 20)

y=3x⁴+4x³-12x²

y' = 12x³ + 12x² - 24x = 0

x₁ = 0

x²+x-2 = 0

D = 9

x₂ = (1-3)/2 = -1

x₃ = (1+3)/2 = 2

(0;0)  (-1; -13)   (2; 32)

y=2/x+x/3

y' = -2/x² + 1/3 = 0

-2 + x²/3 = 0

x² = 6

x = ±√6

(-√6; -4/√6)   и (√6; 4/√6)

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти её производные и приравнять их к нулю. После этого можно использовать вторую производную, чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом. Давайте поочерёдно найдем производные и решим уравнения для каждой функции.

1. Функция y = 3 - 5x^2: - Первая производная: \(y' = -10x\) - Приравниваем к нулю: \(-10x = 0 \Rightarrow x = 0\)

Таким образом, единственная точка экстремума - \(x = 0\).

2. Функция y = x^3 + 3x^2: - Первая производная: \(y' = 3x^2 + 6x\) - Приравниваем к нулю: \(3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0\) - Точки экстремума: \(x = 0\) и \(x = -2\)

Таким образом, есть две точки экстремума - \(x = 0\) и \(x = -2\).

3. Функция y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2: - Первая производная: \(y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x\) - Приравниваем к нулю: \(12x^3 + 12x^2 - 24x = 0\) - Решения этого уравнения довольно сложны, но можно попробовать факторизацию или использовать численные методы для нахождения корней.

4. Функция y = 2/x + x/3: - Первая производная: \(y' = -2/x^2 + 1/3\) - Приравниваем к нулю: \(-2/x^2 + 1/3 = 0\) - Решения этого уравнения также требуют численных методов.

После того, как вы найдете значения \(x\) для каждой функции, подставьте их обратно в исходные функции, чтобы получить соответствующие значения \(y\). Также, используйте вторые производные для определения характера экстремума (минимума или максимума). Если \(y'' > 0\), то это минимум, если \(y'' < 0\), то максимум.

Теперь вы можете решить уравнения для каждой функции и найти точки экстремума.