Question

СРОЧНО! Доведіть методом від супротивного,що бісектриса тупого кута утворює з його сторонами кути,які не перевищують 90 °

Answer 1

Ответ:

Припустимо, що бісектриса тупого кута утворює з його сторонами кути, які перевищують 90°.

Нехай у нас є тупий кут ABC з бісектрисою BD. Нехай D - точка на стороні AC така, що BD є бісектрисою кута ABC.

Для спросту можемо вважати, що AC = 1 (якщо AC > 1, можна збільшити масштаб, а якщо AC < 1, можна замінити ролі сторін, тобто розглядати проблему з іншого кута зокрема) та що кут ABC є тупим.

Довжина бісектриси може бути будь-якою, тому покажемо, що незалежно від значення довжини бісектриси, кути, утворені бісектрисою зі сторонами кута ABC, не перевищують 90°.

Позначимо кути, утворені бісектрисою зі сторонами кута ABC, як ABD і CBD.

За визначенням бісектриси, кути ABD і CBD мають однакову міру. Якщо припустити, що ці кути перевищують 90°, то їх сума буде більшою за 180° (може бути максимум 360°). Оскільки сума всіх кутів в трикутнику ABC дорівнює 180°, а кути ABD і CBD цілком лежать у трикутнику ABC, сума цих кутів не може бути більшою за 180°. Це суперечить нашому припущенню.

Отже, випливає, що бісектриса тупого кута не може утворювати з його сторонами кути, які перевищують 90°. За відсутності інших варіантів, це означає, що кути, утворені бісектрисою тупого кута з його сторонами, не перевищують 90°.

Answer 2

Для доведення цього твердження скористаємося методом від супротивного.

Припустимо, що бісектриса тупого кута утворює з його сторонами кути, які перевищують 90°.

Тоді, якщо ми позначимо кути тупого кута як A і B, а бісектрису як BC, то ми отримаємо, що кут ABC і кут BCA більші за 90°.

Але це суперечить властивості бісектриси, яка ділить кут на дві рівні частини. Отже, наше припущення є неправильним.

Таким чином, ми довели, що бісектриса тупого кута утворює з його сторонами кути, які не перевищують 90°.