Question

Допоможіть будь ласка! (2x-1)(x+1)≥(x-2) (3+2x).

Answer 1

Объяснение:

(2x+3)-(x-1)=2

2x-1-(+1)=2

1x-1=2

1x=2+1.

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо нерівність та спробуємо знайти її рішення.

Дано: \[(2x - 1)(x + 1) \geq (x - 2) + (3 + 2x)\]

Розкриємо дужки та спростимо вираз: \[2x^2 + 2x - x - 1 \geq x - 2 + 3 + 2x\]

Об'єднаємо подібні терміни та спростимо вираз: \[2x^2 + x - 1 \geq x + 2x + 1\]

Тепер віднімемо вираз \(x + 2x + 1\) з обох сторін нерівності: \[2x^2 + x - 1 - x - 2x - 1 \geq 0\]

Скоротимо терміни: \[2x^2 - 2x - 2 \geq 0\]

Розділимо обидві сторони на 2 (помножимо на \(\frac{1}{2}\)): \[x^2 - x - 1 \geq 0\]

Тепер ми отримали квадратичну нерівність. Щоб знайти її рішення, можемо скористатися графіком функції \(y = x^2 - x - 1\) або методом дослідження знаків.

Факторизуємо квадратичний тричлен: \[x^2 - x - 1 = (x - \alpha)(x - \beta)\]

Знайдемо корені рівняння \(x^2 - x - 1 = 0\). Вони можуть бути знайдені за допомогою квадратного кореня: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -1\). Підставимо ці значення: \[x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

Отже, корені рівняння \(x^2 - x - 1 = 0\) - це \(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) та \(x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\).

Тепер використаємо метод дослідження знаків, використовуючи ці корені та розділові точки (точки, які розбивають вісь \(x\)): 1. \((- \infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})\) 2. \((\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})\) 3. \((\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)\)

Підставимо значення з кожного інтервалу в \(x^2 - x - 1\) та визначимо знак: 1. Для \(x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\): Вираз \(x^2 - x - 1\) буде додатнім. 2. Для \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\): Вираз \(x^2 - x - 1\) буде від'ємним. 3. Для \(x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\): Вираз \(x^2 - x - 1\) буде додатнім.

Отже, рішення нерівності \(x^2 - x - 1 \geq 0\) - це інтервали \((- \infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)\).