Question

1. Докажите, что функция F(x) = √x+cos2x есть первообразная для функции f(x)=-2sin2x, x € (0; +∞).​

Answer 1

Ответ:

2-3 деп жазндар бул дурс ответ

Объяснение:

лайк басандарш

Answer 2

Для доказательства того, что функция \( F(x) = \sqrt{x}\cos(2x) \) является первообразной для функции \( f(x) = -2\sin(2x) \) на интервале \( (0, \infty) \), нужно проверить два условия:

1. \( F(x) \) дифференцируема на интервале \( (0, \infty) \). 2. Производная \( F'(x) \) равна функции \( f(x) \).

Давайте проверим оба условия:

1. Дифференцируемость \( F(x) \):

Функция \( F(x) = \sqrt{x}\cos(2x) \) представляет собой произведение двух функций \( g(x) = \sqrt{x} \) и \( h(x) = \cos(2x) \), которые обе дифференцируемы на интервале \( (0, \infty) \).

- \( g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) (по правилу дифференцирования). - \( h'(x) = -2\sin(2x) \) (по правилу дифференцирования).

Таким образом, произведение \( F(x) = g(x) \cdot h(x) \) также дифференцируемо, и его производная будет:

\[ F'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \]

Подставим значения:

\[ F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos(2x) + \sqrt{x} \cdot (-2\sin(2x)) \]

2. Проверка \( F'(x) = f(x) \):

Теперь сравним \( F'(x) \) с \( f(x) = -2\sin(2x) \).

\[ F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos(2x) - 2\sqrt{x}\sin(2x) \]

Сравним с \( f(x) = -2\sin(2x) \). Мы видим, что:

\[ F'(x) = f(x) \]

Таким образом, условия выполняются, и функция \( F(x) = \sqrt{x}\cos(2x) \) является первообразной для функции \( f(x) = -2\sin(2x) \) на интервале \( (0, \infty) \).