Question

ОЧЕНЬ МНОГО БАЛЛОВ! 1) Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке: , x ∈ R 2) Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке: , x ∈ R

Answer 1

Если функция F есть первообразная для функции f, то функция f является производной для функции F. Проверим это:

$F'(x)=\left(\dfrac{1}{2} \cos2x\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot(-\sin2x)\cdot(2x)'=-\dfrac{1}{2}\sin2x\cdot2=-\sin2x=f(x)$

Указанное соотношение выполняется.

$F'(x)=\left(} \sin^2x\right)'=2\sin x\cdot(\sin x)'=2\sin x\cdot\cos x=\sin2x=f(x)$

Указанное соотношение выполняется.

Answer 2

Для доказательства, что функция F является первообразной функции f на промежутке x ∈ R, мы должны показать, что производная F совпадает с функцией f. Это означает, что:

F'(x) = f(x)

Если это условие выполняется для всех x на данном промежутке, то F действительно будет первообразной функции f.

Давайте начнем с первого промежутка:

1. Докажем, что F является первообразной для f на промежутке x ∈ R.

Если у нас есть функция F(x) и f(x), и F'(x) = f(x) для всех x на промежутке, то это означает, что F(x) является первообразной для f(x) на этом промежутке.

2. Далее, вы задали второй вопрос, но в нем не указаны функции F и f, и промежуток, на котором вы хотели бы провести доказательство. Пожалуйста, предоставьте конкретные функции F и f, а также указание на промежуток, на котором вы хотели бы провести доказательство, чтобы я мог предоставить вам соответствующее доказательство.