Question

Найдите объем тела, образованного вращением функции y=2√x вокруг оси абсцисс от точки x=1 до точки x=4. срочноо​

Answer 1

Для нахождения объема тела, образованного вращением функции y=2√x вокруг оси абсцисс, мы используем метод цилиндров известной длины.

Формула для объема цилиндра известной длины: V = ∫(2πy*dx) от x=1 до x=4.

Сначала найдем функцию y в пределах от x=1 до x=4:
y = 2√x

Теперь можем записать формулу для объема:
V = ∫(2πy*dx) от x=1 до x=4
= ∫(2π(2√x)*dx) от x=1 до x=4
= 4π∫(√x*dx) от x=1 до x=4.

Интегрируем √x по x:
∫(√x*dx) = (2/3)x^(3/2)

Подставим пределы интегрирования:
4π∫(√x*dx) от x=1 до x=4
= 4π[(2/3)(4)^(3/2) - (2/3)(1)^(3/2)]
= 4π[(2/3)(8) - (2/3)]
= 4π[16/3 - 2/3]
= 4π(14/3)
= (56/3)π.

Таким образом, объем тела, образованного вращением функции y=2√x вокруг оси абсцисс от точки x=1 до точки x=4, равен (56/3)π.

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением функции y=2√x вокруг оси абсцисс от точки x=1 до точки x=4, мы можем использовать формулу объема тела вращения.

Формула объема тела, образованного вращением функции f(x) вокруг оси x на интервале [a, b], где f(x) >= 0 для всех x на этом интервале, выглядит следующим образом:

V = π * ∫[a,b] (f(x))^2 dx

В данном случае, функция y=2√x принимает значение 0 в точке x=0, и растет до значения 4 в точке x=4, поэтому интервал интегрирования будет [1, 4].

Теперь мы можем найти объем тела, подставив функцию y=2√x в формулу объема:

V = π * ∫[1,4] (2√x)^2 dx = π * ∫[1,4] 4x dx = 4π * ∫[1,4] x dx = 4π * [(1/2)x^2] |[1,4] = 4π * (1/2)(4^2 - 1^2) = 4π * (1/2)(16 - 1) = 8π * 15 = 120π

Таким образом, объем тела, образованного вращением функции y=2√x вокруг оси абсцисс от точки x=1 до точки x=4, равен 120π или примерно 376,99 единиц объема.

Не забывайте, что π (пи) - это математическая константа, которая примерно равна 3,14159.