Question

Докажите тождество: cosα + cos(2π/3 + α (альфа не в знаменателе)) + cos (2π/3 - α(альфа не в знаменателе)) = 0

Answer 1

Cosa+cos2π/3*cosa-sin2π/3sina+cos2π/3*cosa+sin2π/3sina=
=cosa+2cos2π/3cosa=cosa+2*(-1/2)cosa=cosa-cosa=0

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся формулой для косинуса суммы двух углов:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

В данном случае, у нас есть следующее выражение:

cos(α)cos(2π/3 + α) + cos(2π/3 - α) = 0

Применим формулу для косинуса суммы двух углов к каждому слагаемому в данном выражении:

cos(2π/3 + α) = cos(2π/3)cos(α) - sin(2π/3)sin(α) cos(2π/3 - α) = cos(2π/3)cos(α) + sin(2π/3)sin(α)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

cos(α)cos(2π/3)cos(α) - cos(α)sin(2π/3)sin(α) + cos(2π/3)cos(α)cos(α) + sin(2π/3)sin(α)sin(α) = 0

Упростим это выражение:

2cos(α)cos(2π/3)cos(α) = 0

Так как у нас есть произведение трех косинусов, чтобы это выражение было равно нулю, одно из слагаемых должно быть нулевым.

Таким образом, получаем два возможных случая:

1. cos(α) = 0

2. cos(2π/3) = 0

Для первого случая, когда cos(α) = 0, решение очевидно, так как это означает, что угол α равен π/2 или 3π/2, что может быть подставлено в исходное уравнение для проверки.

Для второго случая, когда cos(2π/3) = 0, получим:

2cos(α)cos(α) = 0

Так как у нас есть произведение двух косинусов, чтобы это выражение было равно нулю, одно из слагаемых должно быть нулевым.

Таким образом, получаем два возможных случая:

1. cos(α) = 0

2. cos(α) = 0

Оба случая дают одно и то же значение, что подтверждает корректность доказательства:

cos(α) = 0

Таким образом, доказано тождество:

cos(α)cos(2π/3 + α) + cos(2π/3 - α) = 0

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.