Question

Освободить от иррациональности 1) 4/√15 5)a+6/√a+62)8/√2 6)1/√11-13)24/5√7 7)14/√17+√34)m⁴/n√m​ срочно

Answer 1

Для освобождения от иррациональности в данных выражениях, нужно рационализировать каждый знаменатель, то есть привести знаменатели к рациональным выражениям. Для этого используем основной метод рационализации - умножение на подходящий "сопряженный" знаменатель. "Сопряженный" знаменатель - это выражение, которое, умноженное на исходный знаменатель, обеспечивает избавление от иррациональности.

1) \( \frac{4}{\sqrt{15} + 5} \)

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ \frac{4}{\sqrt{15} + 5} \times \frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{15} - 5} \] Это приведет к рациональному выражению в знаменателе: \[ = \frac{4(\sqrt{15} - 5)}{(\sqrt{15})^2 - 5^2} \] \[ = \frac{4\sqrt{15} - 20}{15 - 25} \] \[ = \frac{4\sqrt{15} - 20}{-10} \] \[ = -\frac{2\sqrt{15} - 10}{5} \]

2) \( \frac{8}{\sqrt{2} + 6} \)

Аналогично предыдущему случаю: \[ \frac{8}{\sqrt{2} + 6} \times \frac{\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} - 6} \] Это даст: \[ = \frac{8(\sqrt{2} - 6)}{2 - 6^2} \] \[ = \frac{8\sqrt{2} - 48}{2 - 36} \] \[ = \frac{8\sqrt{2} - 48}{-34} \] \[ = -\frac{4\sqrt{2} - 24}{17} \]

3) \( \frac{1}{\sqrt{11} - 13} \)

Процедура та же: \[ \frac{1}{\sqrt{11} - 13} \times \frac{\sqrt{11} + 13}{\sqrt{11} + 13} \] Это приведет к: \[ = \frac{\sqrt{11} + 13}{11 - 13^2} \] \[ = \frac{\sqrt{11} + 13}{11 - 169} \] \[ = \frac{\sqrt{11} + 13}{-158} \] \[ = -\frac{\sqrt{11} + 13}{158} \]

4) \( \frac{24}{5\sqrt{7} + 7} \)

Так же: \[ \frac{24}{5\sqrt{7} + 7} \times \frac{5\sqrt{7} - 7}{5\sqrt{7} - 7} \] \[ = \frac{24(5\sqrt{7} - 7)}{(5\sqrt{7})^2 - 7^2} \] \[ = \frac{120\sqrt{7} - 168}{35 - 49} \] \[ = \frac{120\sqrt{7} - 168}{-14} \] \[ = -\frac{60\sqrt{7} - 84}{7} \]

5) \( \frac{14}{\sqrt{17} + \sqrt{34}} \)

Для этого случая необходимо умножить и делитель и делимое на \(\sqrt{34} - \sqrt{17}\) чтобы рационализировать знаменатель.

\[ \frac{14}{\sqrt{17} + \sqrt{34}} \times \frac{\sqrt{34} - \sqrt{17}}{\sqrt{34} - \sqrt{17}} \] \[ = \frac{14(\sqrt{34} - \sqrt{17})}{34 - 17} \] \[ = \frac{14(\sqrt{34} - \sqrt{17})}{17} \]

6) \( \frac{m^4}{n\sqrt{m}} \)

Это уже рациональное выражение, так как \(m^4\) — рациональное число.

Таким образом, проведя процедуру рационализации, мы получили рациональные выражения для всех данных уравнений, кроме последнего, которое уже является рациональным.