Question

(4-4i)^3 возвести в указанную степень комплексное число, найти все значения корней из комплексного числа

Answer 1

Ответ:

Для возведения комплексного числа (4 - 4i) в степень 3, нужно умножить его на само себя три раза:

(4 - 4i)^3 = (4 - 4i)(4 - 4i)(4 - 4i)

= (16 - 16i - 16i + 16i^2)(4 - 4i)

= (-32 - 32i)(4 - 4i)

= -128 - 128i

Таким образом, (4 - 4i)^3 = -128 - 128i.

Чтобы найти корни из комплексного числа -128 - 128i, нужно решить уравнение z^3 = -128 - 128i. Для этого сначала найдём модуль и аргумент этого числа:

|z| = √((-128)^2 + (-128)^2) = √32768 = 128

Arg(z) = arctan(-128/-128) = arctan(1) = π/4 или 45 градусов

Затем, используя формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень, можем найти три корня:

z1 = 128 ∠ (π/12)

z2 = 128 ∠ (5π/12)

z3 = 128 ∠ (9π/12)

Таким образом, все значения корней из комплексного числа -128 - 128i это 128, умноженное на одно из трёх комплексных чисел: z1 = 128 ∠ (π/12), z2 = 128 ∠ (5π/12), z3 = 128 ∠ (9π/12).

Answer 2

Для того чтобы найти значение выражения (4-4i)^3, сначала возведем комплексное число (4-4i) в указанную степень. После этого найдем все значения корней из этого числа.

(4-4i)^3 означает, что мы должны возвести число (4-4i) в третью степень. Для этого можем воспользоваться формулой для возведения комплексных чисел в степень:

(a + bi)^n = a^n + (na^(n-1))bi - (n(n-1)a^(n-2))c + ... + (n(n-1)(n-2)...(n-k+1)b^k)i^k

Где a и b - действительная и мнимая части числа, соответственно, n - степень, в которую мы возводим число, и k - порядок слагаемого. В данном случае n = 3.

Для числа (4-4i):

a = 4 b = -4 n = 3

Теперь вычислим каждое слагаемое:

a^3 = 4^3 = 64 (na^(n-1))bi = 3 * 4^2 * (-4i) = -192i (n(n-1)a^(n-2))c = 3(3-1) * 4^(3-2) * (-4) = -288

Теперь сложим все слагаемые:

(4-4i)^3 = 64 - 192i - 288 = -224 - 192i

Таким образом, (4-4i)^3 = -224 - 192i.

Теперь найдем все значения корней из этого комплексного числа. Для этого воспользуемся формулой для извлечения корней из комплексных чисел:

Для числа z = a + bi, корни из него можно найти следующим образом:

1. Найдем модуль числа z: |z| = √(a^2 + b^2)

2. Найдем аргумент числа z: θ = arctan(b/a)

3. Теперь можем найти корни:

- Корень первого порядка (главное значение): z1 = √|z| * (cos(θ/3) + i * sin(θ/3))

- Корень второго порядка: z2 = √|z| * (cos(θ/3 + 2π/3) + i * sin(θ/3 + 2π/3))

- Корень третьего порядка: z3 = √|z| * (cos(θ/3 + 4π/3) + i * sin(θ/3 + 4π/3))

Теперь найдем корни из числа -224 - 192i:

1. Модуль: |z| = √((-224)^2 + (-192)^2) = √(50176 + 36864) = √87040

2. Аргумент: θ = arctan((-192)/(-224)) = arctan(24/28) = arctan(6/7)

Теперь найдем каждый корень:

- Первый корень: z1 = √√87040 * (cos(θ/3) + i * sin(θ/3))

- Второй корень: z2 = √√87040 * (cos(θ/3 + 2π/3) + i * sin(θ/3 + 2π/3))

- Третий корень: z3 = √√87040 * (cos(θ/3 + 4π/3) + i * sin(θ/3 + 4π/3))

Теперь можно вычислить значения этих корней:

- Первый корень: z1 ≈ 85.75 * (cos(π/18) + i * sin(π/18))

- Второй корень: z2 ≈ 85.75 * (cos(7π/18) + i * sin(7π/18))

- Третий корень: z3 ≈ 85.75 * (cos(13π/18) + i * sin(13π/18))

Это значения корней из числа -224 - 192i. Мы можем также представить их в алгебраической форме, если понадобится.