Question

- sin 3x cos x - cos 3x sin x ≤ 1/2

Answer 1

Для решения данного неравенства, давайте разложим его на отдельные части и посмотрим, как можно привести его к более простому виду.

Имеем неравенство:

sin(3x) + cos(x) - cos(3x) + sin(x) ≤ 1/2

Сначала заметим, что можно сгруппировать синусы и косинусы:

(sin(3x) - cos(3x)) + (cos(x) + sin(x)) ≤ 1/2

Далее, воспользуемся формулами синуса и косинуса разности:

[2sin(x)cos(x)] + [2sin(x)cos(2x)] ≤ 1/2

Теперь заметим, что в первом слагаемом можно привести к общему множителю:

2sin(x)(cos(x) + cos(2x)) ≤ 1/2

Также, мы можем заменить cos(2x) с помощью формулы двойного угла:

2sin(x)(cos(x) + 2cos^2(x) - 1) ≤ 1/2

Раскроем скобки:

2sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos^2(x) - 2sin(x) ≤ 1/2

Теперь заметим, что первое слагаемое 2sin(x)cos(x) можно привести к общему множителю:

2sin(x)(cos(x) + 2cos^2(x) - 1) - 2sin(x) ≤ 1/2

2sin(x)(2cos^2(x) - 1) - 2sin(x) ≤ 1/2

Избавимся от двойного множителя:

4sin(x)cos^2(x) - 2sin(x) - 2sin(x) ≤ 1/2

4sin(x)cos^2(x) - 4sin(x) ≤ 1/2

Теперь вынесем общий множитель за скобки:

4sin(x)(cos^2(x) - 1) ≤ 1/2

Так как cos^2(x) - 1 = -sin^2(x), получаем:

-4sin^3(x) ≤ 1/2

Теперь, чтобы избавиться от отрицательного знака, умножим обе части неравенства на -1:

4sin^3(x) ≥ -1/2

Упростим:

sin^3(x) ≥ -1/8

Теперь возведем обе части неравенства в куб:

(sin(x))^3 ≥ (-1/8)^3

sin^3(x) ≥ -1/512

Теперь, чтобы найти значения угла x, удовлетворяющие этому неравенству, нам нужно найти значения x, для которых синус возводим в куб больше или равен -1/512.

Ответ: Решением данного неравенства будет любой угол x, для которого sin(x) ≥ (-1/512)^(1/3). То есть, все значения x, для которых синус возводим в куб больше или равен кубическому корню из -1/512.