Question

Які з наведених рівностей є тотожностями: 1) (2a – 3b)2 = (3b – 2a)2; 5) | a2 + 4 | = a2 + 4; 2) (a – b)3 = (b – a)3; 6) | a + b | = | a | + | b |; 3) | a + 5 | = a + 5; 7) | a – 1 | = | a | – 1; 4) | a – b | = | b – a |; 8) a2 – b2 = (a – b)2?5) | a2 + 4 | = a2 + 4;

Answer 1

Давайте розглянемо кожну з наведених рівностей, щоб визначити, які з них є тотожностями:

1) (2a - 3b)^2 = (3b - 2a)^2 Возводимо обидві сторони у квадрат: (2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 (3b - 2a)^2 = 9b^2 - 12ab + 4a^2

Очевидно, що (2a - 3b)^2 і (3b - 2a)^2 рівні, оскільки порядок доданків у квадратних дужках не впливає на результат.

2) |a^2 + 4| = a^2 + 4 Умова |x| = x, якщо x - не від'ємне число, інакше |x| = -x. В даному виразі a^2 + 4 завжди є невід'ємним числом, тому |a^2 + 4| завжди дорівнює a^2 + 4.

3) (a - b)^3 = (b - a)^3 Возводимо обидві сторони у куб: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 (b - a)^3 = b^3 - 3ab^2 + 3a^2b - a^3

Очевидно, що (a - b)^3 і (b - a)^3 рівні, оскільки порядок доданків у кубічних дужках не впливає на результат.

4) |a + b| = |a| + |b| Ця тотожність називається нерівністю трикутника і вона справедлива для всіх дійсних чисел a і b. Вона вказує на те, що сума довжин будь-яких двох сторін трикутника завжди більше за довжину третьої сторони.

5) |a + 5| = a + 5 Ця тотожність справедлива, оскільки вираз a + 5 завжди є невід'ємним числом, тому |a + 5| завжди дорівнює a + 5.

6) |a - 1| = |a| - 1 Ця тотожність не є загальною. Вона справедлива, якщо a - невід'ємне число. У інших випадках, коли a - від'ємне число, вона не виконується.

7) |a - b| = |b - a| Ця тотожність справедлива, оскільки вона вказує на те, що відстань між a і b однакова, незалежно від того, яке з чисел більше.

8) a^2 - b^2 = (a - b)^2 Ця тотожність не є загальною. Вона справедлива, якщо a і b - дійсні числа, але вона не виконується, якщо a і b - комплексні числа.

Отже, з наведених рівностей тотожностями є 1), 2), 3), 4), 5), і 7). Решта рівностей не є тотожностями в усіх випадках.