Question

Доведіть нерівність: 1)m^2+n^2+1 більше або дорівнює m+n+mn 2) a^2+b^2+c^2>2(a+b+c)-4

Answer 1

1)

$m^2+n^2+1 \ge m+n+mn$

$m^2+n^2+1 -m-n-mn \ge 0\ \ \ |\cdot 2$

$2m^2+2n^2+2 -2m-2n-2mn \ge 0$

$(m^2-2mn+n^2)+(m^2-2m+1)+(n^2-2n+1) \ge 0$

$(m-n)^2+(m-1)^2+(n-1)^2 \ge 0$

сума невід’ємних чисел є невід’ємним числом

2)

$a^2+b^2+c^2>2(a+b+c)-4$

$a^2+b^2+c^2>2a+2b+2c-4>0$

$a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c+4>0$

$a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1+1>0$

$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+1>0$

сума невід’ємних чисел і додатного числа є додатним числом

Answer 2

Нерівність, яку ви привели, виглядає наступним чином:

m^2 + n^2 + 1 ≥ m + n + mn + 2 a^2 + b^2 + c^2 > 2(a + b + c) - 4

Давайте розглянемо кожну нерівність окремо і з'ясуємо, як можна довести їх.

Доведення нерівності m^2 + n^2 + 1 ≥ m + n + mn + 2:

Для початку, давайте перепишемо цю нерівність у вигляді, ближчому до стандартного виду:

m^2 + n^2 - m - n - mn ≥ 1 - 2

Тепер спробуємо перетворити ліву частину нерівності:

m^2 + n^2 - m - n - mn ≥ 1 - 2 (m^2 - m) + (n^2 - n) - mn ≥ -1

Зауважте, що ми використали факт того, що -2 можна записати як -1 - 1.

Тепер ми застосуємо трюк з додаванням і відніманням однієї й тієї самої величини до нашої нерівності:

(m^2 - m + 1/4) + (n^2 - n + 1/4) - mn ≥ -1 + 1/4 + 1/4 (m - 1/2)^2 + (n - 1/2)^2 - mn ≥ -1/2

Тепер ми маємо ліву частину нерівності у вигляді суми двох квадратів і додатнього добутку mn. З квадратів завжди отримується невід'ємне число, тому ми можемо визначити найменше значення лівої частини нерівності. Це буде відповідати значенню, коли m = 1/2 і n = 1/2 (щоб мінімізувати квадрати), тоді ліва частина стає нулем, а права частина стає -1/2. Таким чином, нерівність m^2 + n^2 + 1 ≥ m + n + mn + 2 виконується для будь-яких значень m та n.

Доведення нерівності a^2 + b^2 + c^2 > 2(a + b + c) - 4:

Для початку, давайте перепишемо цю нерівність у вигляді, ближчому до стандартного виду:

a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + b + c) > -4 + 4 a^2 - 2a + b^2 - 2b + c^2 - 2c > 0

Тепер ми можемо перетворити ліву частину нерівності:

a^2 - 2a + b^2 - 2b + c^2 - 2c > 0 (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) > 3

Знову ж таки, ми використали факт того, що 4 можна записати як 1 + 1 + 1.

Тепер застосуємо трюк з додаванням і відніманням однієї й тієї самої величини до нашої нерівності:

(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) > 3 (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 > 3

Оскільки квадрати завжди невід'ємні, найменше значення лівої частини нерівності буде 0, коли a = 1, b = 1 і c = 1. Тому нерівність a^2 + b^2 + c^2 > 2(a + b + c) - 4 виконується для будь-яких значень a, b та c.

Отже, ми довели обидві нерівності.