Question

При каких значениях параметра плоскость касается сферы ?

Answer 1

Центр сферы: $M(1;2;-3)$, а радиус сферы $R=5$

Расстояние от точки центра сферы $M(M_x;M_y;M_z)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d=\dfrac{|A\cdot M_x+B\cdot M_y+C\cdot M_z+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d=\dfrac{|1\cdot 1+(-2)\cdot 2+2\cdot (-3)+D|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{|D-9|}{3}$

• Если d = R(радиус сферы), то плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

$\dfrac{|D-9|}{3}=5$

Решив уравнение получаем $D_1=-6$ и $D_2=24$

Answer 2

Плоскость может касаться сферы при разных значениях параметра, в зависимости от того, какая конкретная сфера и плоскость рассматриваются. Чтобы определить, при каких значениях параметра плоскость будет касаться сферы, нужно учесть уравнение сферы и уравнение плоскости, а также соответствующий параметр.

Уравнение сферы в трехмерном пространстве обычно имеет следующий вид:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2, \]

где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве можно записать в виде:

\[ Ax + By + Cz + D = 0, \]

где (A, B, C) - нормаль к плоскости, а D - коэффициент.

Чтобы узнать, при каких значениях параметра плоскость будет касаться сферы, нужно подставить уравнение сферы в уравнение плоскости и выразить параметр (например, r, a, b, c, A, B, C, D) из этого уравнения. Затем анализировать это уравнение для определения условий, при которых плоскость будет касаться сферы.

При этом можно выделить несколько случаев:

1. Плоскость может касаться сферы, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Это можно выразить как:

\[ |Ax + By + Cz + D| = r. \]

2. Плоскость также может касаться сферы, если она проходит через центр сферы и нормаль к плоскости направлена внутрь сферы. В этом случае нормальное расстояние от центра сферы до плоскости будет равно радиусу сферы:

\[ \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = r. \]

Это лишь общие случаи, и конкретные значения параметра будут зависеть от конкретных координат центра сферы, радиуса сферы и коэффициентов уравнения плоскости.