Question

Определи количество корней уравнения sin(9x)*cos(15x)=sin(15x)*cos(9x) на отрезке [−8π; 9π].

Answer 1

$Sin9x\cdot Cos15x=Sin15x\cdot Cos9x\\\\Sin15x\cdot Cos9x-Sin9x\cdot Cos15x=0\\\\Sin(15x-9x)=0\\\\Sin6x=0\\\\6x=\pi n, \ n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi n }{6} \ , \ n\in Z\\\\ \ -8\pi \leq \dfrac{\pi n }{6}\leq 9\pi \\\\-48\pi \leq\pi n \leq 54\pi \\\\-48\leq n \leq 54\\\\-48+(-47)+(-46)+...+0+1+2+...54=\boxed{103 \ kornia}$

Answer 2

Для определения количества корней уравнения sin(9x)*cos(15x)=sin(15x)*cos(9x) на отрезке [-8π; 9π], необходимо проанализировать поведение функции на данном отрезке.

Для начала, заметим, что уравнение данной формы можно переписать следующим образом: sin(9x + 15x) = sin(9x + 15x)cos(9x - 15x), после чего сократить sin(9x + 15x) с обеих сторон. Получится следующее уравнение: sin(24x) = cos(6x).

Затем, воспользуемся свойством тригонометрической функции: sin(x) = cos(x - π/2). Подставим это свойство вместо sin(24x): cos(24x - π/2) = cos(6x).

Теперь, для того чтобы уравнение было истинным на отрезке [-8π; 9π], достаточно, чтобы выражения внутри косинусов были равными с точностью до 2π. Из этого следует, что 24x - π/2 = 6x + 2πn, где n - целое число.

Решим уравнение: 24x - π/2 = 6x + 2πn. Перенесем все переменные на одну сторону и объединим все константы: 24x - 6x = π/2 + 2πn. Сократим коэффициенты: 18x = π/2 + 2πn.

Теперь разделим обе стороны уравнения на 18: x = (π/2 + 2πn) / 18.

На отрезке [-8π; 9π] будет бесконечное количество корней. Каждому целому n соответствует решение уравнения, попадающее в указанный отрезок.