Question

Найдите количество всех трехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых цифры справа налево строго убывают.

Answer 1

Для начала заметим, что в числах, удовлетворяющих условию, не может использоваться цифра 0. Действительно, 0 - наименьшая из цифр, поэтому по условию должна оказаться на первом месте. Но если трехзначное число начинается с цифры 0, то фактически оно уже не трехзначное, а хотя бы двузначное.

Итак, в числах используются только цифры от 1 до 9. Чтобы построить такие числа, мы выбираем из 9 цифр некоторые 3, и затем располагаем их в возрастающем порядке. Такой алгоритм дает возможность посчитать их количество. Количество чисел определяется числом способов выбрать из 9 цифр некоторые 3 без учета порядка. Это в свою очередь соответствует числу сочетаний из 9 элементов по 3:

$C_9^3=\dfrac{9!}{3!\cdot(9-3)!} =\dfrac{9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3} =84$

Ответ: 84

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим, какие трехзначные числа удовлетворяют условию, что цифры справа налево строго убывают.

В трехзначных числах цифры справа налево убывают, если первая цифра меньше второй, а вторая меньше третьей. Например, такие числа: 321, 543, 642 и т.д.

1. Первая цифра может быть любой из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (так как это натуральные числа).

2. Вторая цифра должна быть больше первой. Остается 8 вариантов.

3. Третья цифра должна быть больше второй. Остается 7 вариантов.

Итак, общее количество трехзначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи, равно:

1 * 8 * 7 = 56.

Итак, существует 56 трехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых цифры справа налево строго убывают.