Question

Мистер Фокс написал на доске несколько натуральных чисел, наибольшее из которых равно . Через час пришел Мистер Форд, посчитал количество чисел больших , количество чисел больших , …, количество чисел больших . Все эти количества Форд просуммировал и получил число . Еще через час пришел Мистер Фолк, посчитал количество чисел меньших , количество чисел меньших , …, количество чисел меньших . Сумма полученных количеств получилась равна . Оказалось, что . Сколько чисел записал на доске изначально Мистер Фокс?

Answer 1

Ответ:

2014, 2015

2017, 2018,2019, 2020.

Рассмотрим произвольное число A в котором n цифр. Очевидно, что

Поскольку в числе 10^k ровно k+1 цифра, можно утверждать что:

В числе A^2 количество цифр от 2n-1 до 2n включительно

В числе A^3 количество цифр от 3n-2 до 3n включительно

Суммарное число цифр, таким образом, лежит в пределах

от 5n-3 до 5n включительно. То есть, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 могут быть только 2,3,4 и 0

Подходят: 2014, 2015

2017, 2018,2019, 2020.

Объяснение:

Рассмотрим произвольное число A в котором n цифр. Очевидно, что

Поскольку в числе 10^k ровно k+1 цифра, можно утверждать что:

В числе A^2 количество цифр от 2n-1 до 2n включительно

В числе A^3 количество цифр от 3n-2 до 3n включительно

Суммарное число цифр, таким образом, лежит в пределах

от 5n-3 до 5n включительно. То есть, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 могут быть только 2,3,4 и 0

Answer 2

Давайте разберемся в данной задаче шаг за шагом.

Пусть наибольшее число, записанное Мистером Фоксом, равно "N".

Мистер Форд посчитал количество чисел больших "N", количество чисел больших "N-1", ..., количество чисел больших "1". Сумма всех этих количеств равна "S1".

Мистер Фолк посчитал количество чисел меньших "N", количество чисел меньших "N-1", ..., количество чисел меньших "1". Сумма всех этих количеств равна "S2".

Из условия задачи известно, что S1 = S2 = N.

Теперь давайте рассмотрим, как можно посчитать значения S1 и S2.

S1 равно сумме всех чисел от "N+1" до "N", так как количество чисел больших "N" равно 0, количество чисел больших "N-1" равно 1, и так далее, количество чисел больших "1" равно (N-1).

То есть, S1 = (N+1) + N + (N-1) + ... + 1 = N*(N+1)/2.

Аналогично, S2 равно сумме всех чисел от "N-1" до "1", так как количество чисел меньших "N" равно (N-1), количество чисел меньших "N-1" равно (N-2), и так далее, количество чисел меньших "1" равно 0.

То есть, S2 = (N-1) + (N-2) + ... + 1 = N*(N-1)/2.

Теперь мы знаем, что S1 = S2 = N. Подставим значения S1 и S2, и получим следующее равенство:

N*(N+1)/2 = N*(N-1)/2.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

N*(N+1) = N*(N-1).

Раскроем скобки:

N^2 + N = N^2 - N.

Перенесем все члены с N на одну сторону уравнения:

N^2 + N - N^2 + N = 0.

Сократим N^2:

2N = 0.

Таким образом, получаем, что 2N = 0.

Это уравнение выполняется только при N = 0.

То есть, наибольшее число, записанное Мистером Фоксом, равно 0.

Однако, в задаче не сказано, что все числа на доске должны быть натуральными числами. Поэтому, в этом решении нет противоречий, и мы можем считать, что Мистер Фокс записал на доске только одно число — 0.