Question

Найти минимум и максимум функции У=х(х-2)² ответ минимум(0,5;-16875)

Answer 1

Ответ:

$y=x(x-2)^2\\\\y'=(x-2)^2+x\cdot 2(x-2)=(x-2)(x-2+2x)=(x-2)(3x-2)=0\\\\x_1=2\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{2}{3}\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ +++(\dfrac{2}{3})---(2)+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \nearrow \ \ (\dfrac{2}{3})\ \ \searrow \ \ \, (2)\ \ \nearrow \\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \, (max)\ \ \ \ \ \ (min)\\\\\\y(max)=y(\dfrac{2}{3})=\dfrac{2}{3}\cdot (\dfrac{2}{3}-2)^2=\dfrac{2}{3}\cdot (-\dfrac{4}{3})^2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{16}{9}=\dfrac{32}{27}=1\dfrac{5}{27}\\\\\\y(min)=y(2)=2\cdot (2-2)^2=0$

Answer 2

Для нахождения минимума и максимума функции У = х(х-2)² мы можем использовать метод дифференцирования. Давайте начнем с нахождения производной этой функции и приравнивания ее к нулю, чтобы найти критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует).

1. Найдем производную функции У по переменной х: У'(x) = x(2(x-2)) + (x-2)² У'(x) = 2x(x-2) + (x-2)² У'(x) = 2x(x-2) + (x² - 4x + 4) У'(x) = 2x² - 4x + x² - 4x + 4 У'(x) = 3x² - 8x + 4

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x² - 8x + 4 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с использованием дискриминанта: D = (-8)² - 4 * 3 * 4 = 64 - 48 = 16

Теперь используем формулу для нахождения корней: x₁ = (-(-8) + √16) / (2 * 3) = (8 + 4) / 6 = 12 / 6 = 2 x₂ = (-(-8) - √16) / (2 * 3) = (8 - 4) / 6 = 4 / 6 = 2/3

Мы получили две критические точки: x₁ = 2 и x₂ = 2/3.

3. Теперь найдем значения функции У в этих точках, чтобы определить, являются ли они минимумами или максимумами. Подставим x = 2 и x = 2/3 в исходную функцию У:

У(2) = 2(2 - 2)² = 2 * 0 = 0 У(2/3) = 2/3(2/3 - 2)² = 2/3 * (2/3 - 2/3)² = 2/3 * 0 = 0

Оба значения функции У в критических точках равны нулю.

Таким образом, минимум и максимум функции У находятся в точках, где производная равна нулю, и в данном случае оба значения равны 0. Это означает, что функция У имеет минимум и максимум в точках x₁ = 2 и x₂ = 2/3, и оба значения равны 0.