Question

Решите задачу. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти объем конуса.

Answer 1

Ответ: 216π или 678,584 см³.

Объяснение:

Образующая конуса, высота конуса и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

По условию задачи образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, => что высота конуса равна 1/2 образующей конуса, т.е.:

H = 12 см : 2 = 6 см

Найдем радиус основания по т. Пифагора:

R = √(12² - 6²) = √108 = 6√3 см

Найдем объем конуса:

V = ⅓πR²H

V = ⅓π · (6√3)² · 6 = 216π ≈  678,584 см³

Answer 2

Для решения задачи о нахождении объема конуса с известной длиной образующей и углом наклона к плоскости основания, мы можем воспользоваться следующей формулой для объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

где: V - объем конуса, π (пи) - математическая константа, приближенно равная 3.14159, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Для начала определим радиус основания конуса. Мы знаем, что образующая конуса равна 12 см, а угол наклона к плоскости основания составляет 30 градусов. Радиус можно найти с помощью тригонометрии.

Радиус основания (r) можно найти, используя тригонометрический тангенс угла наклона (30 градусов) и длину образующей (12 см):

tan(30°) = r / 12.

Угол 30 градусов соответствует тангенсу 1/√3, поэтому:

1/√3 = r / 12.

Теперь найдем значение r:

r = 12 / √3.

Далее нам нужно найти высоту конуса (h). Мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Высота конуса является катетом, а образующая - гипотенузой. Угол между высотой и образующей равен 30 градусам.

sin(30°) = h / 12.

Угол 30 градусов соответствует синусу 1/2, поэтому:

1/2 = h / 12.

Теперь найдем значение h:

h = (1/2) * 12 = 6 см.

Теперь у нас есть радиус (r = 12 / √3) и высота (h = 6) конуса. Мы можем использовать формулу для объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h.

Подставим значения:

V = (1/3) * π * (12 / √3)^2 * 6.

Вычислим это выражение:

V ≈ (1/3) * 3.14159 * (144 / 3) * 6 V ≈ 3.14159 * 48 * 6 V ≈ 904.77824 см³.

Таким образом, объем этого конуса равен примерно 904.78 кубическим сантиметрам.