Question

3.Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов,радиус основания равен 10 см.Найдите объем конуса и площадь его боковой поверхности

Answer 1

Образующая - гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором радиус - катет, лежащий напротив угла в 30° (т.к. другой острый угол =60°, а в сумме острые углы прямоугольного треугольника = 90°).
Катет, лежащий напротив угла в 30°, вдвое меньше гипотенузы, значит, образующая =20 см (т.е. 10 см*2). Второй катет найдем по теореме Пифагора:
$H=20^2-10^2=400-100=300 \\ \sqrt{300} =10 \sqrt{3}$

Объем конуса равен 
$V= \frac{1}{3} \pi R^2H=\frac{1}{3} \pi 10^2*10 \sqrt{3} = \frac{1000 \sqrt{3} }{3}$
Площадь бок. пов. равна
$S= \pi Rl= \pi *10*20=200 \pi$

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы для вычисления объема и площади боковой поверхности конуса.

1. Объем конуса вычисляется по формуле: V = (1/3) * π * r^2 * h, где V - объем конуса, π - число пи (приближенное значение 3.14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

2. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S = π * r * l, где S - площадь боковой поверхности конуса, r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

У нас уже известен радиус основания конуса - 10 см. Остается найти высоту и образующую конуса.

По условию известно, что образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Образующая - это отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания. Так как образующая образует с плоскостью основания угол 60 градусов, то образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, а радиус основания - это одна из его катетов.

Используя теорему Пифагора, найдем длину образующей: l^2 = r^2 + h^2, где l - длина образующей, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Так как угол между образующей и радиусом основания составляет 60 градусов, то треугольник, образованный образующей, радиусом основания и проведенной из вершины конуса высотой, является равнобедренным треугольником. Значит, его основания равны между собой.

Таким образом, получаем систему уравнений: l^2 = r^2 + h^2, h = r * √3.

Решим данную систему уравнений: l^2 = r^2 + (r * √3)^2, l^2 = r^2 + 3r^2, l^2 = 4r^2, l = 2r.

Таким образом, длина образующей равна удвоенному радиусу основания.

Теперь мы можем вычислить объем и площадь боковой поверхности конуса.

1. Объем конуса: V = (1/3) * π * r^2 * h, V = (1/3) * 3.14 * 10^2 * (10 * √3), V = (1/3) * 3.14 * 100 * 10 * √3, V = 314 * 10 * √3, V ≈ 3140 * √3 см^3.

2. Площадь боковой поверхности конуса: S = π * r * l, S = 3.14 * 10 * 2 * 10, S = 314 * 20, S = 6280 см^2.

Таким образом, объем конуса составляет примерно 3140 * √3 см^3, а площадь его боковой поверхности равна 6280 см^2.