Question

Все вершины трапеции АВСD принадлежат графику функции у=64-х^2, построенному в прямоугольной системе координат. Большее основание AD лежит на оси х. Какую наибольшую площадь может иметь трапеция АВСD?

Answer 1

Находим координаты точек A и D.

Они на оси Ох - координата у = 0.

Тогда х = √64 = +-8.

Точка А(-8; 0),  точка D(8; 0).

Пусть координата по оси Ох точки В равна -х, тоски С равна х.

Высота трапеции равна координате точек В и С по оси Оу.

То есть 64 - х².

Длина верхнего основания трапеции ВС = 2х.

Длина средней линии равна (2*8 + 2х)/2 = 8 + х.

Площадь трапеции S = (8 + х)*(64 - х²).

Раскроем скобки: S = 512 + 64x - 8x² - x³.

Функция площади трапеции определена в зависимости от переменной х.

Находим производную: S' = -3x² - 16x + 64.

Для нахождения экстремума приравниваем производную нулю.

-3x² - 16x + 64 = 0  или 3x² + 16x - 64 = 0.

Ищем дискриминант:

D=16^2-4*3*(-64)=256-4*3*(-64)=256-12*(-64)=256-(-12*64)=256-(-768)=256+768=1024;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√1024-16)/(2*3)=(32-16)/(2*3)=16/(2*3)=16/6=8/3≈ 2.6667;

x_2=(-√1024-16)/(2*3)=(-32-16)/(2*3)=-48/(2*3)=-48/6=-8.

Отрицательное значение не принимаем. Если принять х = -8, то трапеция превращается в отрезок.

Определяем характер найденной критической точки. Для этого находим знаки производной левее и правее этой точки

x =       2       8/3        3

y' =   -20       0           11.

Как видим, знак от - к +, значит, это максимум.

Подставляем значение х в уравнение площади.

S = (8 + (8/3))*(64 - (8/3)²) = (32/3)*(512/9) = (16384/27) ≈ 606,8148.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно найти координаты вершин трапеции АВСD, которые принадлежат графику функции у = 64 - х^2.

Из условия задачи известно, что большее основание AD лежит на оси х. Поэтому координаты точек A и D будут иметь вид (a, 0) и (-a, 0), где а - положительное число.

Также из условия задачи следует, что вершины трапеции АВСD принадлежат графику функции у = 64 - х^2. Заменяя х на а и -а, получаем координаты точек B и C: (a, 64 - а^2) и (-a, 64 - а^2).

Теперь мы можем построить график функции у = 64 - х^2 и на нем отметить найденные точки A, B, C и D.

Чтобы найти площадь трапеции АВСD, нужно воспользоваться формулой площади трапеции: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Основания трапеции АВСD равны |AB| и |CD|. Для нахождения их длин, можно использовать расстояние между двумя точками на плоскости:

|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Высота трапеции равна расстоянию между основаниями, то есть |AD|.

Таким образом, для нахождения наибольшей площади трапеции АВСD нужно найти значения a и h, при которых значение выражения (a + b) * h / 2 будет максимальным.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу!