Question

У"-2у'+10у=0 помгите​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Характеристическое уравнение: p^2-2p+10 = 0

Корни p = 1 + 6 i и p = 1 - 6 i.

Общее решение диф. уравнения:

y = e^x ( A* cos 6x + B* sin 6x) , здесь А и В - произвольные константы. Значения констант находим из начальных условий:

1 = e^0 ( A * cos 0 + B * sin 0),

0 = e^0 ( A * cos 0 + B * sin 0 - 6A * sin 0 + 6B * cos 0),

то есть 1=А, 0 = А + 6В .

Значит А=1, В=-1/6.

Ответ: y = e^x ( cos 6x -1/6 * sin 6x)

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

-2у' + 10у = 0

Для решения данного уравнения, приведем его к стандартному виду для линейного дифференциального уравнения первого порядка:

у' - 5у = 0

Данное уравнение имеет вид y'(t) + p(t)y(t) = 0, где p(t) = -5.

Для решения данного типа уравнения используется метод интегрирующего множителя. Найдем множитель, умножим уравнение на него и приведем его к виду:

μ(t)у' + μ(t)p(t)у = 0

где μ(t) называется интегрирующим множителем.

В данном случае, найдем такой множитель μ(t), чтобы величина μ(t)p(t) была полной производной какой-либо функции. Полными производными являются производные от функций, поэтому нужно найти функцию F(t), у которой первая производная равна -5:

dF(t)/dt = -5

Интегрируя это уравнение, получим:

F(t) = -5t + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Таким образом, интегрирующим множителем μ(t) будет е^(F(t)), то есть:

μ(t) = e^(-5t+C1) = e^(C1)e^(-5t)

где e^(C1) - произвольная постоянная, которую можно заменить на другую постоянную C2:

μ(t) = C2e^(-5t)

Теперь умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель μ(t):

C2e^(-5t)у' - 5C2e^(-5t)у = 0

Сгруппируем слагаемые:

(C2e^(-5t)у)' = 0

Интегрируем обе части уравнения:

∫(C2e^(-5t)у)' dt = ∫0 dt

C2e^(-5t)у = C3

где C3 - произвольная постоянная.

Разделим обе части на C2e^(-5t):

у = C3/(C2e^(-5t))

Сократим C2 и C3:

у = C3/C2e^(5t)

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

у(t) = C3e^(5t)/C2

где C3 и C2 - произвольные постоянные.