Question

Вычислить предел функции, не используя правило Лопиталя. lim x стремится к бесконечности (3x - 1 / 3x + 2)^6x+1 = ?​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Условие:

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\left(\dfrac{3x-1}{3x+2}\right)^{6x}+1\right)$

Решение:

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\left(\dfrac{3x-1}{3x+2}\right)^{6x}+1\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{3x-1}{3x+2}\right)^{6x}+1$

Замена: $t=3x+2$.

$\lim\limits_{t\to\infty}\left(\dfrac{3\times\dfrac{t-2}{3}-1}{t}\right)^{6\times\frac{t-2}{3}}+1=\lim\limits_{t\to\infty}\left(\dfrac{t-3}{t}\right)^{2t-4}+1=\lim\limits_{t\to\infty}\left(\left(1-\dfrac{3}{t}\right)^t\right)^{\frac{2t-4}{t}}+1=\left(\lim\limits_{t\to\infty}\left(\dfrac{t-3}{t}\right)\right)^{\lim\limits_{t\to\infty}2-\frac{4}{t}}+1=\left(e^{-3}\right)^2+1=\dfrac{1}{e^6}+1$

Итого получили, что ответ:

$\dfrac{1}{e^6}+1$

Задание выполнено!

Answer 2

Для вычисления предела функции без использования правила Лопиталя, мы можем воспользоваться свойством экспоненты.

Имеем функцию f(x) = (3x - 1) / (3x + 2) в степени 6x + 1.

Для начала заметим, что в числителе и знаменателе степени различных, поэтому мы можем получить предел функции, разделив числитель и знаменатель на x^6.

Таким образом, функция f(x) превращается в f(x) = [(3/x - 1/x^6) / (3/x + 2/x^6)]^(6x + 1).

Далее, применим свойство экспоненты: если a и b - числа, то (a/b)^c = a^c / b^c.

Применим данное свойство к нашей функции:

f(x) = [(3/x - 1/x^6) / (3/x + 2/x^6)]^(6x + 1) = [(3 - 1/x^5) / (3 + 2/x^5)]^(6x + 1).

Далее, заметим, что при стремлении x к бесконечности, выражение 1/x^5 стремится к нулю.

Таким образом, мы можем получить предел нашей функции, подставив x = бесконечность:

lim(x стремится к бесконечности) [(3 - 1/x^5) / (3 + 2/x^5)]^(6x + 1) = [(3 - 0) / (3 + 0)]^бесконечность.

Значение вида 1^бесконечность не имеет определенного значения, поэтому ответом будет бесконечность.