Question

Изобразите схематически график функции и, пользуясь этим графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) f(x)=2/x б)f(x)=2x^2-x

Answer 1

Ответ:

$a)\ \ f(x)=\dfrac{2}{x}$

Графиком заданной функции является гипербола, расположенная в 1 и 3 четвертях, так как  k=2>0 . Область определения функции - множество действительных чисел без точки (0;0) ,  $x\in (-\infty;0\, )\cup (\, 0;+\infty )$  .  Прямые  х=0  и  у=0  являются асимптотами .

Всюду на области определения функция убывает .

$b)\ \ y=2x^2-x$

Графиком заданной функции является парабола с вершиной в точке  (0,25 ; -0,125) . Точки пересечения с осью ОХ: (0;0)  и  (0,5;0) , с осью ОУ: (0;0) .  

Функция убывает при  $x\in (-\infty ;\, 0,25\, ]$  и возрастает при   $x\in [\ 0,25\ ;+\infty \, )$

Answer 2

График функции f(x) = 2/x

Для построения графика функции f(x) = 2/x, мы можем использовать следующие шаги:

1. Определите область определения функции. В данном случае функция определена для всех значений x, кроме x = 0, так как нельзя делить на ноль.

2. Найдите точки пересечения с осями координат. Для этого, приравняйте функцию к нулю и решите уравнение. В данном случае, чтобы найти точку пересечения с осью x, нужно решить уравнение 2/x = 0, что дает нам x = 0. Таким образом, график функции будет проходить через точку (0, 0).

3. Определите поведение функции на интервалах вне точек пересечения с осями координат. Для этого рассмотрим знак функции на различных интервалах. Найдем производную функции и определим ее знак. В данном случае, производная функции f(x) = 2/x равна f'(x) = -2/x^2. Знак производной зависит от знака -2 и x^2. Так как -2 является постоянной отрицательной величиной и x^2 всегда положительно или равно нулю, то производная всегда будет отрицательной. Это означает, что функция f(x) = 2/x будет убывать на всем интервале, на котором определена.

4. Постройте график функции, используя полученную информацию. График функции будет иметь вид гиперболы, проходящей через точку (0, 0) и стремящейся к нулю при приближении к бесконечности и минус бесконечности. График будет убывать на всем интервале, на котором определена.

Промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 2/x: Так как функция f(x) = 2/x всегда убывает на всем интервале, на котором определена, промежутки возрастания отсутствуют.

График функции f(x) = 2x^2 - x

Для построения графика функции f(x) = 2x^2 - x, мы можем использовать следующие шаги:

1. Определите область определения функции. Функция f(x) = 2x^2 - x определена для всех значений x.

2. Найдите вершину параболы. Для этого, воспользуйтесь формулой x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данном случае, a = 2, b = -1. Подставив значения, получим x = -(-1) / (2 * 2) = 1/4. Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = 1/4 в уравнение функции: f(1/4) = 2(1/4)^2 - (1/4) = 1/8 - 1/4 = -1/8. Таким образом, вершина параболы находится в точке (1/4, -1/8).

3. Определите направление открытия параболы. Для этого, рассмотрим коэффициент при x^2. В данном случае, коэффициент a = 2 положительный, что означает, что парабола будет открываться вверх.

4. Постройте график функции, используя полученную информацию. График функции будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх и с вершиной в точке (1/4, -1/8).

Промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 2x^2 - x: Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной функции. Возьмем производную функции f(x) = 2x^2 - x. Для этого, возьмем производную от каждого слагаемого и сложим результаты: f'(x) = 4x - 1.

Знак производной зависит от знака 4x - 1. Чтобы найти точки, где производная равна нулю, нужно решить уравнение 4x - 1 = 0. Решив уравнение, получим x = 1/4. Эта точка соответствует вершине параболы.

Теперь, чтобы определить промежутки возрастания и убывания, нужно рассмотреть знак производной на разных интервалах.

- Если x < 1/4, то 4x < 1, значит 4x - 1 < 0, и производная будет отрицательной. Это означает, что функция f(x) = 2x^2 - x будет убывать на этом интервале. - Если x > 1/4, то 4x > 1, значит 4x - 1 > 0, и производная будет положительной. Это означает, что функция f(x) = 2x^2 - x будет возрастать на этом интервале.

Таким образом, промежуток возрастания функции f(x) = 2x^2 - x будет состоять из всех значений x > 1/4, а промежуток убывания - из всех значений x < 1/4.