Question

Докажите тождество: где n натуральное число больше1​

Answer 1

Раскроем скобки:

$(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... +x+ 1)=$

$=x(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... +x+ 1)-(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... +x+ 1)=$

$=x^n + x^{n - 1} + ... +x^2+ x-x^{n - 1} - x^{n - 2} - ...-x- 1$

Заметим, что все слагаемые, кроме первого и последнего взаимно уничтожаются:

$x^n + x^{n - 1} + ... +x^2+ x-x^{n - 1} - x^{n - 2} - ...-x- 1=$

$=x^n +( x^{n - 1} + ... +x^2+ x)+(-x^{n - 1} - x^{n - 2} - ...-x)- 1=x^n-1$

Answer 2

Для доказательства тождества нам нужно использовать метод математической индукции.

Пусть утверждение верно для некоторого натурального числа n, то есть: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Докажем, что утверждение верно и для числа n+1: 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = (n+1)(n+2)/2

Сначала вычислим сумму первых n чисел по предположению индукции: 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)

Затем приведем общий знаменатель и объединим дроби: = (n^2 + n + 2n + 2) / 2 = (n^2 + 3n + 2) / 2 = ((n+1)(n+2)) / 2

Таким образом, мы получили выражение (n+1)(n+2)/2, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали тождество для любого натурального числа n больше 1.