Question

2. Один з катетів прямокутного трикутника на 3 см більший за інший. Знайти катети трикутника якщо гіпотенуза дорівнює 15 см. потрібно скласти до цього систем рівняннь довжину більшого катета позначено через х см а меншого у см.

Answer 1

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

(a + b)² = a² + 2ab + b² - формула

Пусть х см - больший катет, тогда у см - меньший катет. Известно, что х на 3 см больше у. Гипотенуза равна 15 см. Составим систему уравнений по условию задачи.

{х² + у² = 15²

{х = (у + 3)

- - - - - - - - - - - - -

(у + 3)² + у² = 15²

у² + 6у + 9 + у² = 225

2у² + 6у - 216 = 0

Сократим обе части уравнения на 2

у² + 3у - 108 = 0

D = b² - 4ac = 3² - 4 · 1 · (-108) = 9 + 432 = 441

√D = √441 = 21

у₁ = (-3-21)/(2·1) = -24/2 = -12 (не подходит, так как < 0)

у₂ = (-3+21)/(2·1) = 18/2 = 9

х = у + 3 = 9 + 3 = 12

Ответ: 12 см и 9 см.

Проверка:

12² + 9² = 15²

144 + 81 = 225

225 = 225 - верно.

Answer 2

Назвемо більший катет х см, тоді менший катет буде (х - 3) см.

За теоремою Піфагора, гіпотенуза підносять до квадрату дорівнює сумі квадратів катетів. Таким чином, отримуємо рівняння:

х^2 + (х - 3)^2 = 15^2

Розкриваємо дужки і спрощуємо:

х^2 + x^2 - 6х + 9 = 225

Об'єднуємо подібні доданки:

2х^2 - 6х - 216 = 0

Розділяємо рівняння на 2 для спрощення:

х^2 - 3х - 108 = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Можна спробувати розв'язати методом розкладу на множники:

(х + 9)(х - 12) = 0

Таким чином, отримуємо два розв'язки:

х + 9 = 0 або х - 12 = 0

Розв'язавши ці рівняння, отримуємо, що:

х = -9 або х = 12

Оскільки довжина катету не може бути від'ємною, відкидаємо розв'язок х = -9, і приходимо до висновку, що більший катет має довжину 12 см, а менший катет має довжину (12 - 3) = 9 см.

Answer 3

Позначимо катети прямокутного трикутника через a см і b см (a > b). За умовою задачі, a = b + 3.

Також, за теоремою Піфагора, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів: a^2 + b^2 = 15^2.

Ми отримали два рівняння: a = b + 3 і a^2 + b^2 = 15^2.

Замінимо в першому рівнянні a на b + 3: (b + 3)^2 + b^2 = 15^2.

Розкриваємо дужки: b^2 + 6b + 9 + b^2 = 15^2.

Складаємо рівняння: 2b^2 + 6b + 9 = 225.

Переносимо всі члени рівняння наліво: 2b^2 + 6b + 9 - 225 = 0.

Скорочуємо чисельники: 2b^2 + 6b - 216 = 0.

Ділимо кожен член рівняння на 2 для спрощення: b^2 + 3b - 108 = 0.

Це квадратне рівняння можна розв'язати факторизацією, завдяки відомому факту, що сума і добуток коренів квадратного рівняння дорівнюють відповідно -b та a:

Знайдемо два числа, які діляться націло на коефіцієнт при b (у нашому випадку 1) і які мають суму 3. Такими числами будуть 9 і -6.

Записуємо факторизований вигляд рівняння: (b + 9)(b - 6) = 0.

З отриманої рівності ми маємо два варіанти: b + 9 = 0 або b - 6 = 0.

Розв'язуємо кожне з рівнянь окремо: b = -9 або b = 6.

Отже, ми отримали дві можливі довжини меншого катета: b = -9 і b = 6.

Однак, значення довжини не може бути від'ємним числом, тому єдиним коректним значенням для меншого катета є b = 6 см.

Підставимо це значення в перше рівняння a = b + 3: a = 6 + 3 = 9 см.

Отже, довжина меншого катета дорівнює 6 см, а довжина більшого катета - 9 см.