Question

4. Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии соответственно равны 2k +8; k; k -3, где k - положительное число. а) Найдите значение k . b) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Answer 1

Ответ:

картинка

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства геометрической прогрессии.

а) Найдем значение k. В геометрической прогрессии каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число - знаменатель прогрессии. Значит, второй член равен (первый член) * (знаменатель прогрессии), третий член равен (второй член) * (знаменатель прогрессии).

Исходя из данного условия, имеем: (первый член) * (знаменатель прогрессии) = второй член, второй член * (знаменатель прогрессии) = третий член.

Подставляя значения первого, второго и третьего членов из условия задачи, получаем: 2k * (знаменатель прогрессии) = k, k * (знаменатель прогрессии) = k - 3.

Делим первое уравнение на второе: (2k * (знаменатель прогрессии))/(k * (знаменатель прогрессии)) = k/(k - 3).

Сокращаем знаменатели: 2/(k - 3) = 1.

Умножаем обе части уравнения на (k - 3): 2 = k - 3.

Добавляем 3 ко всем частям уравнения: 5 = k.

Таким образом, значение k равно 5.

б) Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом, чтобы сумма имела конечное значение, необходимо чтобы модуль знаменателя прогрессии был меньше 1.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем q вычисляется по формуле: S = a/(1 - q).

Подставляя значения первого члена (2k * 8 = 16k), знаменателя (k) и значения k (k = 5) в формулу, получаем: S = 16k/(1 - k).

Вычисляем сумму: S = 16 * 5/(1 - 5) = 80/(-4) = -20.

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна -20.

Answer 3

Для решения данной задачи, нам нужно использовать свойства геометрической прогрессии.

a) Найдите значение k.

В геометрической прогрессии, каждый следующий член получается из предыдущего умножением на постоянный коэффициент, называемый знаменателем прогрессии. В данном случае, первый, второй и третий члены прогрессии равны 2k, 8 и k-3 соответственно.

Таким образом, мы можем создать систему уравнений:

1) 2k = 8 2) 8 = k * (k-3)

Решив первое уравнение, мы получим k = 4. Подставим это значение в второе уравнение и получим k = 4.

Таким образом, значение k равно 4.

b) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S = a / (1 - r)

где a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

В данном случае, первый член прогрессии равен 2k = 2*4 = 8, а знаменатель прогрессии равен (k-3)/k = (4-3)/4 = 1/4.

Подставив эти значения в формулу, получим:

S = 8 / (1 - 1/4) = 8 / 3/4 = 8 * 4/3 = 32/3.

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32/3.