Question

Розв'язати тригонометричне рівняння 2tg2x-3tgx+1=0

Answer 1

Ответ:

Снизу

Объяснение:

2tg²x+3tgx-2=0

Пусть tgx =у, тогда

2у²+3у-2=0

D=3²+4*2*2=25

y₁=(-3-5)/4=-2

y₂=(-3+5)/4=1/2

tgx=-2

x=arctg(-2)+πn, n∈Z

tgx=1/2

x=arctg(0.5)+πn, n∈Z

Answer 2

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння 2tg(2x) - 3tg(x) + 1 = 0, спробуємо використати підходи та властивості тригонометричних функцій.

Перетворення рівняння:

Почнемо зі спрощення даного рівняння. За допомогою тригонометричної тотожності тангенсу подвійного кута, отримаємо:

2tg(2x) - 3tg(x) + 1 = 0

2 * (2tg(x) / (1 - tg^2(x))) - 3tg(x) + 1 = 0

4tg(x) / (1 - tg^2(x)) - 3tg(x) + 1 = 0

Заміна змінної:

Зробимо заміну: позначимо tg(x) за допомогою нової змінної, скажемо t. Тоді отримаємо:

4t / (1 - t^2) - 3t + 1 = 0

Зводимо до квадратного рівняння:

Наступним кроком є зведення даного рівняння до квадратного рівняння. Помножимо обидві частини на (1 - t^2) для позбавлення від знаменника:

4t - 3t(1 - t^2) + (1 - t^2)(1 - t^2) = 0

4t - 3t + 3t^3 - t^5 + 1 - 2t^2 + t^4 = 0

3t^3 - t^5 - 2t^2 + t^4 + 4t - 3t + 1 = 0

Розкриваємо дужки та сортуємо за степенями:

t^5 + t^4 - 2t^2 + 3t^3 - 3t + 1 = 0

t^5 + t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 3t + 1 = 0

Розв'язування квадратного рівняння:

Тепер ми маємо квадратне рівняння t^5 + t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 3t + 1 = 0. Це рівняння можна розв'язати за допомогою числових методів, таких як метод Ньютона або метод Бірча-Мурі. Але воно є складним для аналітичного розв'язування.

Тому найкращим підходом є використання числових методів або графічного підходу для знаходження наближених значень t, які задовольняють рівняння. Знайдені значення t можна підставити назад у вираз tg(x) = t та використати тригонометричні інверсні функції, щоб знайти значення x.

Отже, розв'язання рівняння 2tg(2x) - 3tg(x) + 1 = 0 вимагає використання числових методів для знаходження наближених значень x або використання графічного підходу для знаходження точок перетину графіків функцій 2tg(2x) та 3tg(x) - 1.