Question

Реши неравенство (z2+1)(z2-144)/z2-1>0​

Answer 1

Решим методом промежутков, учитывая область определения

z^2 - 1 ≠ 0 => z ≠ ±1

Преобразуем и перепишем неравенство в следующем виде:

(z^2 + 1)(z - 12)(z + 12)/(z^2 - 1)>0

Нули функции f(z) = (z^2 + 1)(z - 12)(z + 12)/(z^2 - 1): z=-12, z=-1, z=1, z=12

На промежутке:

1) (-∞, -12), f(z)>0

2) (-12, -1), f(z)<0

3) (-1, 1), f(z)>0

4) (1, 12), f(z)<0

5) (12, +∞), f(z)>0

То есть неравенство имеет решение на промежутках 1, 3, 5, т.е. z € (-∞, -12) U (-1, 1) U (12, +∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с его анализа. Нам дано неравенство:

\(\frac{(z^2 + 1)(z^2 - 144)}{z^2 - 1} > 0\)

Чтобы найти решение этого неравенства, мы можем разложить числитель и знаменатель на множители:

Числитель: \(z^2 + 1\) нельзя разложить дальше, так как это сумма двух квадратов. \(z^2 - 144 = (z + 12)(z - 12)\)

Знаменатель: \(z^2 - 1 = (z + 1)(z - 1)\)

Теперь наше неравенство может быть записано следующим образом:

\(\frac{(z^2 + 1)(z^2 - 144)}{(z + 1)(z - 1)} > 0\)

Теперь определим знак выражения в числителе и знаменателе:

1. Для числителя: \(z^2 + 1\) всегда положительно, а \((z + 12)(z - 12)\) будет положительным, если \(z > 12\) или \(z < -12\). Таким образом, числитель всегда положителен, за исключением точек \(z = \pm 12\).

2. Для знаменателя: \((z + 1)(z - 1)\) будет положительным, если \(z < -1\) или \(z > 1\). Знаменатель отрицателен в интервале \(-1 < z < 1\).

Теперь мы можем объединить информацию о знаках числителя и знаменателя, чтобы определить области, в которых исходное неравенство выполняется:

- Для \(z < -12\) или \(z > 12\), оба числитель и знаменатель положительны, поэтому неравенство выполняется.

- Для \(-12 < z < -1\) или \(1 < z < 12\), числитель положителен, а знаменатель отрицателен. Это приводит к тому, что неравенство не выполняется в этих интервалах.

- Для \(-1 < z < 1\), числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому неравенство не выполняется в этом интервале.

Итак, исходное неравенство выполняется в интервалах \(z < -12\) и \(z > 12\).