Question

Решить уравнение: y'-2xy-xy^2=0

Answer 1

Ответ:

$y'-2xy-xy^2=0\\\\y'-2xy=xy^2\\\\\star \ \ y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-2x\cdot uv=x\cdot (uv)^2\\\\u'v+u\cdot (v'-2x\cdot v)=x\cdot u^2v^2\\\\a)\ \ v'-2x\cdot v=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dx}=2x\cdot v\ \ ,\ \ \ \int \dfrac{dv}{v}= \int 2x\, dx\ \ ,\ \ \ ln|v|=x^2\ \ ,\\\\{}\ \ \ \ v=e^{x^2}$

$b)\ \ u'v=x\cdot u^2v^2\ \ \ ,\ \ \ u'=x\cdot u^2v\ \ ,\ \ \ \dfrac{du}{dx}=x\cdot e^{x^2}\cdot u^2\ \ \ ,\ \ \ \int \dfrac{du}{u^2}=\int x\cdot e^{x^2}\, dx\ \ ,\\\\\\\int \dfrac{du}{u^2}=\dfrac{1}{2}\int e^{x^2}\cdot d(x^2)\ \ ,\ \ \ -\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{2}\cdot e^{x^2}+\dfrac{C}{2}\ \ ,\ \ \ -\dfrac{1}{u}=\dfrac{e^{x^2}+C}{2}\ \ ,\\\\\\u=-\dfrac{2}{e^{x^2}+C}\\\\\\c)\ \ y=uv\ \ ,\ \ y=e^{x^2}\cdot \dfrac{-2}{e^{x^2}+C}\ \ ,\ \ \ y=-\dfrac{2\cdot e^{x^2}}{e^{x^2}+C}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, сначала определим его тип. Уравнение y' - 2xy - xy^2 = 0 является нелинейным уравнением первого порядка.

Для начала, проверим, можно ли упростить уравнение. Обратим внимание, что правая часть уравнения равна нулю. То есть, y' - 2xy - xy^2 = 0 эквивалентно y' = 2xy + xy^2.

Тип уравнения можно определить, рассмотрев выражение у y'. Так как у y' присутствует y во второй степени, то это уравнение является нелинейным.

Для решения такого уравнения существует несколько методов. Один из них - метод вариации постоянной. Представим решение в виде y(x) = C(x) * u(x), где C(x) - функция, зависящая от x, а u(x) - функция, зависящая только от переменной x и представляющая собой частное решение.

Подставим это представление в уравнение:

y'(x) = C'(x)u(x) + C(x)u'(x)

Подставим это в исходное уравнение:

C'(x)u(x) + C(x)u'(x) = 2x[C(x)u(x)] + x[C(x)u(x)]^2

Разделим равенство на C(x)u(x):

(C'(x)/C(x)) + (u'(x)/u(x)) = 2x + x(u(x))^2 / C(x)

Поскольку левая часть равенства зависит только от x, а правая часть зависит только от функции u(x), равенство может быть выполнено, только если обе части равны константе, например, равной некоторому числу A.

То есть, получаем систему уравнений:

(C'(x)/C(x)) + (u'(x)/u(x)) = A 2x + x(u(x))^2 / C(x) = A

Решая эту систему уравнений, мы найдем искомые функции C(x) и u(x). Учитывая найденные функции, исходное уравнение может быть решено путем подстановки найденного решения y(x) = C(x) * u(x).

Это общий подход к решению данного уравнения. Однако, для более конкретного ответа, необходимо знать дополнительные условия или требования (например, начальные условия), чтобы найти конкретное решение.