Question

Помогите Пожалуйста Решить2cos3x+4sin(x/2)=7

Answer 1

Ответ:

$2cos3x+4sin\dfrac{x}{2}=7\\\\-1\leq cos3x\leq 1\ \ \ \to \ \ \ -2\leq 2cos3x\leq 2\\\\-1\leq sin\dfrac{x}{2}\leq 1\ \ \ \to \ \ \ -4\leq 4sin\dfrac{x}{2}\leq 4\\{}\qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ -------------\\{}\qquad \qquad \qquad \qquad -6\leq 2cos3x+4sin\dfrac{x}{2}\leq 6\ \ \ ,\ \ \ 7>6\\\\Otvet:\ \ x\in \varnothing \ .$

Answer 2

Для решения данного уравнения нам потребуется использовать тригонометрические тождества. Давайте посмотрим, как можно привести данное уравнение к более простому виду.

2cos3x + 4sin(x/2) = 7

Сначала заметим, что у нас есть как косинус, так и синус. Для удобства использования тригонометрических тождеств, стоит переписать синус в виде косинуса с помощью следующего тождества:

sin(x/2) = √(1 - cos^2(x/2))

Теперь заменим в нашем уравнении sin(x/2) на √(1 - cos^2(x/2)):

2cos3x + 4√(1 - cos^2(x/2)) = 7

Используем замену переменной:

t = cos(x/2)

Тогда у нас получится следующее:

2cos(3 * 2t) + 4√(1 - t^2) = 7

Упростим уравнение с учетом замены:

2cos(6t) + 4√(1 - t^2) = 7

Воспользуемся тригонометрическим тождеством для косинуса угла суммы:

cos(6t) = cos^2(3t) - sin^2(3t) = (cos^2(3t) - sin^2(3t))(cos^4(3t) + sin^4(3t) + 2sin^2(3t)cos^2(3t))

cos(6t) = (1 - 2sin^2(3t))(1 - sin^2(3t) + sin^4(3t) + sin^2(3t)(1 - sin^2(3t)))

cos(6t) = (1 - 2sin^2(3t))(1 + sin^2(3t))

cos(6t) = 1 - 2sin^2(3t) + sin^2(3t) - 2sin^4(3t)

cos(6t) = 1 - sin^2(3t) - 2sin^4(3t)

Теперь подставим полученное выражение для cos(6t) обратно в уравнение:

2(1 - sin^2(3t) - 2sin^4(3t)) + 4√(1 - t^2) = 7

2 - 2sin^2(3t) - 4sin^4(3t) + 4√(1 - t^2) = 7

-4sin^4(3t) - 2sin^2(3t) + 4√(1 - t^2) = 5

Теперь наша задача сводится к решению уравнения вида:

-4sin^4(3t) - 2sin^2(3t) + 4√(1 - t^2) - 5 = 0

Это уравнение уже более простое и может быть решено методом подстановок или с помощью математических программ, таких как Wolfram Alpha.

К сожалению, я не могу выполнить вычисления в данной платформе, поэтому не могу дать конкретного численного ответа. Однако предоставленное решение позволяет получить уравнение, которое может быть решено численно.