Question

Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии соответственно равны 2k +8; k; k -3, где k - положительное число. а) Найдите значение k . b) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии , если b4=27/8, q=1/2 (если что это дроби) 

Answer 1

Ответ: a) k=4;

b) S=54.

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи давайте сначала найдем значение k, а затем используем его для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии.

a) Найдем значение k:

У нас есть геометрическая прогрессия, и первый, второй и третий члены этой прогрессии равны:

a₁ = 2k + 8, a₂ = k, a₃ = k - 3.

Зная, что a₂ / a₁ = a₃ / a₂, мы можем составить уравнение:

(k) / (2k + 8) = (k - 3) / k.

Теперь решим это уравнение:

k^2 = (k - 3)(2k + 8).

Раскроем скобки:

k^2 = 2k^2 - 6k + 8k - 24.

Упростим уравнение:

k^2 = 2k^2 + 2k - 24.

Теперь выразим это уравнение в виде квадратного уравнения:

0 = k^2 - 2k^2 - 2k - 24.

0 = -k^2 - 2k - 24.

Домножим обе стороны на -1, чтобы получить стандартную форму квадратного уравнения:

k^2 + 2k + 24 = 0.

Теперь решим это уравнение с использованием квадратного уравнения. Дискриминант D = b² - 4ac:

D = 2² - 4 * 1 * 24 = 4 - 96 = -92.

Дискриминант отрицателен, что означает, что у нашего уравнения нет действительных корней. Однако у нас есть комплексные корни:

k₁ = (-2 + √(-92)) / 2 = (-2 + 2√23i) / 2 = -1 + √23i, k₂ = (-2 - √(-92)) / 2 = (-2 - 2√23i) / 2 = -1 - √23i.

Таким образом, уравнение k^2 + 2k + 24 = 0 имеет два комплексных корня k₁ и k₂.

b) Теперь, когда у нас есть значение k, мы можем использовать его для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Мы знаем, что b₄ = 27/8 и q = 1/2. Формула для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии:

S = a / (1 - q),

где S - сумма, a - первый член прогрессии, q - множитель.

В данном случае, первый член прогрессии (a) равен a₁ = 2k + 8, а множитель (q) равен 1/2.

Теперь мы можем подставить значения:

S = (2k + 8) / (1 - 1/2) = (2k + 8) / (1/2) = 4(2k + 8) = 8k + 32.

Теперь, если вы знаете значение k (которое мы нашли ранее), вы можете найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, которая равна 8k + 32.