Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции: y=2sinx-3cos^2x+1​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

................................................

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции y = 2sin(x) - 3cos^2(x) + 1, мы сначала определим диапазон изменения этой функции, а затем найдем экстремумы и точки, где она принимает наименьшее и наибольшее значение.

1. Диапазон изменения функции: Функция y = 2sin(x) - 3cos^2(x) + 1 - это комбинация синуса и квадрата косинуса. Синус и косинус ограничены значениями от -1 до 1. Таким образом, максимальное значение синуса равно 1, а минимальное -1, а максимальное значение косинуса равно 1, а минимальное -1. Квадрат косинуса будет неотрицательным числом, и его максимальное значение равно 1, когда косинус равен 1. Таким образом, максимальное значение функции y = 2sin(x) - 3cos^2(x) + 1 равно 2 - 3 * 1 + 1 = 0, и минимальное значение функции равно 2 - 3 * 1 + 1 = 0.

2. Экстремумы: Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти ее производные и приравнять их к нулю. В данном случае у нас есть функция, содержащая синус и косинус, поэтому приравняем производные к нулю и найдем точки, где производные равны нулю.

y = 2sin(x) - 3cos^2(x) + 1

Производная по x:

y' = 2cos(x) + 6cos(x)sin(x)

Теперь приравняем y' к нулю и решим уравнение:

2cos(x) + 6cos(x)sin(x) = 0

Вынесем общий множитель cos(x):

cos(x)(2 + 6sin(x)) = 0

Теперь у нас есть два случая: 1. cos(x) = 0 - это произойдет, когда x = π/2 + πk, где k - целое число. 2. 2 + 6sin(x) = 0 - это произойдет, когда sin(x) = -1/3. Находим обратный синус:

x = arcsin(-1/3) (примерно -0.3398 радиан)

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = π/2 + πk и x ≈ -0.3398.

3. Подставим найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

a. Для x = π/2 + πk: y = 2sin(π/2 + πk) - 3cos^2(π/2 + πk) + 1

Значения синуса и косинуса в этих точках равны 1 и 0 соответственно. Тогда:

y = 2 - 0 + 1 = 3

b. Для x ≈ -0.3398: y ≈ 2sin(-0.3398) - 3cos^2(-0.3398) + 1

Значения синуса и косинуса можно найти с помощью калькулятора. Подставив их в уравнение, получим значение y.

Итак, наименьшее значение функции y = 2sin(x) - 3cos^2(x) + 1 равно 0 (которое достигается на максимуме функции), и наибольшее значение равно 3 (которое достигается в точках экстремума).

Пожалуйста, обратите внимание, что значения x ≈ -0.3398 и x = π/2 + πk дают точки, где производная равна нулю, и, следовательно, это места возможных экстремумов функции.