Question

10. Коэффициент при х^2 в разложении бинома Ньютона (2x + 1) равен:А) 32;В) 40;C) 50; D) 60.​

Answer 1

Объяснение:

$(2x+1)^6\\C_6^2(2x)^21^{6-2}=\frac{6!}{(6-2)!*2!} 4x^21^4=\frac{4!*5*6}{4!*1*2} 4x^21=5*3*4x^2=60x^2.$

Ответ: D) 60.

Answer 2

Коэффициент при \(x^2\) в разложении бинома Ньютона \((2x + 1)^{10}\) можно найти, используя биномиальную теорему. Формула для коэффициента при \(x^k\) в разложении бинома Ньютона \((a + b)^n\) выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k, \]

где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, равный \(n!\) / \((k! \cdot (n-k)!)\).

В данном случае у нас \(n = 10\) и \(a = 2x\), \(b = 1\), \(k = 2\).

Теперь найдем биномиальный коэффициент \(C(10, 2)\):

\[ C(10, 2) = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!}. \]

Рассчитаем числитель и знаменатель:

\[ 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!. \]

Теперь можем выразить биномиальный коэффициент:

\[ C(10, 2) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45. \]

Теперь у нас есть биномиальный коэффициент \(C(10, 2)\) и значения \(a\) и \(b\). Подставим их в формулу для коэффициента при \(x^2\):

\[ C(10, 2) \cdot (2x)^{10-2} \cdot 1^2 = 45 \cdot (2x)^8 = 45 \cdot 2^8 \cdot x^8 = 45 \cdot 256 \cdot x^8 = 11520x^8. \]

Итак, коэффициент при \(x^2\) в разложении бинома Ньютона \((2x + 1)^{10}\) равен 11,520.

Ответ: D) 11,520.