Question

Помогите решить Y’+ytgx=1/cosx , Y(П)=5 Помогите решить

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

Y' * y * tg(x) = 1 / cos(x)

с начальным условием Y(П) = 5.

Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом. Для решения этого дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Для начала, давайте перепишем уравнение:

Y' * y * tg(x) = 1 / cos(x)

Теперь давайте разделим переменные, переместив все, что содержит Y и y, на одну сторону уравнения, а все, что содержит x и dx, на другую сторону:

Y' * y / cos(x) = 1 / (y * tg(x))

Теперь мы можем разделить дифференциальные переменные:

(Y' * y) / (y * tg(x)) = 1 / cos(x)

Y' / tg(x) = 1 / cos(x)

Теперь мы можем выразить Y' отдельно:

Y' = (1 / cos(x)) * tg(x)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения по переменной Y и X. Давайте начнем с Y:

∫(1) dY = ∫(1 / cos(x) * tg(x)) dx

Интегрирование по Y просто дает нам Y:

Y = ∫(1 / cos(x) * tg(x)) dx

Интегрирование функции 1 / (cos(x) * tg(x)) может быть немного сложным. Это интеграл, который может потребовать некоторых тригонометрических исследований и замен. Один из способов его решения - это применить тригонометрическую подстановку. Мы можем использовать следующие подстановки:

1. Пусть u = tg(x), тогда du/dx = sec^2(x), и dx = du / sec^2(x). 2. Мы также знаем, что sec^2(x) = 1 + tg^2(x), поэтому sec^2(x) = 1 + u^2.

Используя эти подстановки, наше уравнение для интегрирования становится:

Y = ∫(1 / (1 + u^2)) * (du / (1 + u^2))

Теперь мы можем разделить числитель и знаменатель интеграла:

Y = ∫(1 / (1 + u^2)) * (1 / (1 + u^2)) du

Теперь у нас есть интеграл:

Y = ∫(1 / (1 + u^2)^2) du

Этот интеграл можно решить с помощью метода частей (integration by parts), а затем преобразовать обратно в переменную x, используя наши подстановки.

Как только вы найдете интеграл и решите его, вы получите функцию Y(x). После этого вы можете использовать начальное условие Y(П) = 5, чтобы найти константу интеграции и окончательное решение задачи.

Обратите внимание, что этот интеграл может потребовать несколько шагов для решения, и это не всегда легкая задача. Вы можете использовать интегральные таблицы или компьютерные программы для численного интегрирования, если у вас возникнут сложности с этим интегралом.