Question

14.Визначити m,при якому система рівнянь має безліч розв’язків:

Answer 1

Система имеет бесчисленное множество решений, если коэффициенты перед неизвестными и свободные члены пропорциональны.

$\left\{\begin{array}{ccc}2x+my=-6\\mx+8y=12\end{array}\right\\\\\\\dfrac{2}{m}=\dfrac{m}{8}=\dfrac{-6}{12}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{2}{m}=\dfrac{m}{8}=\dfrac{-1}{2}\ \ \ \Rightarrow$

$\dfrac{2}{m}=\dfrac{-1}{2}\ \ ,\ \ \ -m=4\ \ ,\ \ m=-4\\\\\\\dfrac{m}{8}=\dfrac{-1}{2}\ \ ,\ \ \ 2m=-8\ \ ,\ \ m=-4\\\\\\Otvet:\ \ m=-4\ .$

Answer 2

Для того чтобы система рівнянь мала безліч розв'язків, необхідно і достатньо, щоб кількість невідомих була більша за кількість рівнянь системи.

Нехай дана система містить m невідомих і n рівнянь. Якщо m > n, то система має безліч розв'язків.

Це можна пояснити наступним чином: якщо кількість невідомих більша за кількість рівнянь, то існує можливість виразити одну або кілька змінних через інші. Таким чином, в системі буде присутній параметр, який може приймати будь-яке значення, що призводить до безлічі розв'язків.

Наприклад, розглянемо систему рівнянь з двома невідомими і одним рівнянням: x + y = 5

У цій системі є дві невідомі (x і y) і одне рівняння. Застосуємо метод різниці рівнянь: x + y = 5 x - y = 0

Віднімаючи друге рівняння від першого, отримаємо: 2y = 5

Таким чином, можемо виразити y через x: y = 5/2

Отже, в системі існує безліч розв'язків, оскільки можна вибрати будь-яке значення для x, а відповідне значення y буде визначатися виразом y = 5/2.

Таким чином, система рівнянь має безліч розв'язків при m > n.