Question

Известно, что три векторa n→, u→ и v→ разложены по векторам x→, y→ и z→ следующим образом: n→ = −1x→ + 1y→ + 1z→; u→ = 3x→ + −4y→ + 1z→; v→ = −1x→ + 2y→ + −3z→. Докажи, что векторы n→, u→ и v→ компланарны.

Answer 1

$\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\\ \\ \overrightarrow{u}=3\overrightarrow{x}-4\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\\\\\overrightarrow{v}=-1\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}-3\overrightarrow{z}$

В базисе $\overrightarrow{x},\;\overrightarrow{y},\;\overrightarrow{z}$ векторы имеют следующие координаты:

$></p><p>Их координаты попарно не пропорциональны, поэтому эти векторы не коллинеарны между собой.</p><p><em>Докажем компланарность векторов двумя способами.</em></p><p><em></em></p><p><strong>1 способ, школьный (≈10 класс)</strong></p><p>Признак компланарности трёх векторов:</p><p>Пусть векторы <img src=$ и $\overrightarrow{b}$ не коллинеарны. Если для вектора $\overrightarrow{c}$ существует единственная пара реальных чисел A и B, такая, что $\overrightarrow{c}=A\overrightarrow{a}+B\overrightarrow{b}$, то векторы $\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{b},\;\overrightarrow{c}$ компланарны.

Покажем, что

$\overrightarrow{u}=A\overrightarrow{n}+B\overrightarrow{v}\\ \\ (3;-4;1)=A(-1;1;1)+B(-1;2;-3)\\ \\ (3;-4;1)=(-A;A;A)+(-B;2B;-3B)\\ \\ (3;-4;1)=(-A-B;A+2B;A-3B)$

Слева и справа стоят координаты векторов. Векторы равны, если равны их соответственные координаты:

$\left\{\begin{matrix}3=-A-B,\\ -4=A+2B,\\ 1=A-3B\end{matrix}\right.$

Сложим первое и второе уравнение, получим:

-1 = B

Подставим значение B в первое уравнение, найдём A:

3 = -A - (-1)

A = -2

Проверим найденные значения для остальных уравнений системы.

Итого получаем:

$\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{n}-2\overrightarrow{v}$

То есть признак выполнен. Значит векторы компланарны.

2 способ (обычно проходится в вузах):

Векторы $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3),\;\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3),\;\overrightarrow{c}(c_1;c_2;c_3))$ компланарны, если

$\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1& c_2 & c_3\end{vmatrix}=0$

Проверим это условие для данных векторов:

$\begin{vmatrix} -1& 1 & 1\\ 3 & -4 & 1\\ -1 & 2 & -3\end{vmatrix}=-1\begin{vmatrix} -4 & 1\\ 2 & -3\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3 & 1\\ -1 & -3\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}3 & -4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=\\ \\\\ =-1(12-2)-1(-9+1)+1(6-4)=-10+8+2=0$

Следовательно, векторы компланарны.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что векторы n→, u→ и v→ компланарны, нужно показать, что они принадлежат одной плоскости.

Для начала, найдем векторное произведение двух векторов, например n→ и u→:

n→ × u→ = | i j k | |-1 1 1 | | 3 -4 1 |

= i((-1*1) - (1*0)) - j((-3*1) - (1*1)) + k((-3*(-4)) - (1*(-1))) = i(-1) - j(-4) + k(-11) = -i + 4j - 11k

Теперь найдем скалярное произведение полученного вектора с вектором v→:

(-i + 4j - 11k) • (-1x→ + 2y→ - 3z→) = ((-1)*(-1)) + (4*2) + (-11*(-3)) = 1 + 8 + 33 = 42

Если результат скалярного произведения равен нулю, то это означает, что векторы n→, u→ и v→ компланарны. В данном случае результат скалярного произведения равен 42, следовательно, векторы не являются компланарными.