Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции y=2x^3-5x^2+4x-1 и точки ее экстремума

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

ВОТ И ВСЕ

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1, а также точек её экстремума, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по x. 2. Решим уравнение для нахождения критических точек, где производная равна нулю. 3. Проверим знак производной в интервалах между критическими точками, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции. 4. Найдем вторую производную и используем её для определения типа экстремумов (максимумов или минимумов).

Шаг 1: Нахождение производной функции y по x: y'(x) = 6x^2 - 10x + 4

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю: 6x^2 - 10x + 4 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться дискриминантом:

Дискриминант (D) = (-10)^2 - 4 * 6 * 4 = 100 - 96 = 4

Корни уравнения можно найти с помощью формулы квадратного корня:

x = (-(-10) ± √D) / (2 * 6) x = (10 ± 2) / 12

Таким образом, у нас есть две критические точки: x1 = (10 + 2) / 12 = 12/12 = 1 x2 = (10 - 2) / 12 = 8/12 = 2/3

Шаг 3: Определение промежутков возрастания и убывания функции: Теперь мы должны проверить знак производной в интервалах между критическими точками. Для этого выберем произвольные значения x в каждом из этих интервалов:

a) Если x < 2/3, то выберем x = 0 y'(0) = 6(0)^2 - 10(0) + 4 = 4

Поскольку y'(0) > 0, функция возрастает на интервале (-∞, 2/3).

b) Если 2/3 < x < 1, то выберем x = 0.8 y'(0.8) = 6(0.8)^2 - 10(0.8) + 4 ≈ -0.32

Поскольку y'(0.8) < 0, функция убывает на интервале (2/3, 1).

c) Если x > 1, то выберем x = 2 y'(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 4 = 12

Поскольку y'(2) > 0, функция возрастает на интервале (1, +∞).

Теперь мы знаем промежутки возрастания и убывания функции: (-∞, 2/3), (2/3, 1), и (1, +∞).

Шаг 4: Нахождение экстремумов функции: Чтобы найти экстремумы, нужно исследовать вторую производную функции:

y''(x) = 12x - 10

Теперь мы можем подставить найденные критические точки (x = 1 и x = 2/3) во вторую производную:

a) Для x = 1: y''(1) = 12(1) - 10 = 12 - 10 = 2

Поскольку y''(1) > 0, это означает, что у нас есть локальный минимум в точке (1, f(1)).

b) Для x = 2/3: y''(2/3) = 12(2/3) - 10 = 8 - 10 = -2

Поскольку y''(2/3) < 0, это означает, что у нас есть локальный максимум в точке (2/3, f(2/3)).

Итак, функция y = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1 имеет локальный максимум в точке (2/3, f(2/3)) и локальный минимум в точке (1, f(1)). Промежуток возрастания: (-∞, 2/3), (1, +∞). Промежуток убывания: (2/3, 1).