Question

Вычислите предел (Без использования правила Лопиталя)

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \dfrac{x-arctgx}{2x^3}= \lim_{x \to 0} \dfrac{x-(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3))}{2x^3}=\lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{2x^3}= \lim_{x \to 0} (\frac{1}{6}+\frac{o(x^3)}{x^3}) = \left[lim_{x \to 0}\dfrac{o(x^3)}{x^3}=0 \right] =\dfrac{1}{6}$

Использовано разложение в ряд Тейлора $arctgx=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{k }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}}+o(x^{2k-1})$

Answer 2

Для вычисления предела без использования правила Лопиталя, нам нужно знать конкретное выражение, для которого мы хотим найти предел. Пожалуйста, предоставьте это выражение, и я смогу помочь вам с его вычислением.