Question

Решить предел без использования правила Лопиталя Если можно, с пояснениями lim (tan(pi/(2*x))^tan(pi/x) x->2

Answer 1

$\lim\limits _{x \to 2}\, (tg\frac{\pi}{2x})^{tg\frac{\pi}{x}}=\lim\limits _{x \to 2}\Big (1+(tg\frac{\pi}{2x}-1)\Big )^{tg\frac{\pi}{x}}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 2}\Big (1+(tg\frac{\pi}{2x}-1)\Big )^{ \frac{1}{tg\frac{\pi}{2x}-1}\cdot (tg\frac{\pi}{2x}-1)\cdot tg\frac{\pi }{x}}=\\\\\\=\Big [\; \lim\limits _{x \to 2}(tg\frac{\pi }{2x}-1)\cdot tg\frac{\pi}{x}=\lim\limits _{x \to 2}(tg\frac{\pi}{2x}-1)\cdot \frac{2tg\frac{\pi}{2x}}{1-tg^2\frac{\pi}{2x}}=$

$=\lim\limits _{x \to 2}(tg\frac{\pi}{2x}-1)\cdot \frac{2tg\frac{\pi}{2x}}{(1-tg^2\frac{\pi}{y2x})(1+tg\frac{\pi }{2x})}=\lim\limits _{x \to 2}\frac{2tg\frac{\pi}{2x}}{-(1+tg^2\frac{\pi}{2x})} =\frac{2\cdot 1}{-(1+1)}=-1\; \Big ]=$

$=e^{-1}=\frac{1}{e}$

Answer 2

Для решения данного предела без использования правила Лопиталя, мы можем применить некоторые стандартные алгебраические преобразования и тригонометрические тождества.

Для начала, рассмотрим выражение внутри тангенса в пределе:

$\frac{\pi}{2x}.$

Когда $x$ стремится к 2, это выражение принимает следующее значение:

$\lim_{x \to 2} \frac{\pi}{2x} = \frac{\pi}{4}.$

Теперь перепишем заданный предел с учетом этого результата:

$\lim_{x \to 2} \left(\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right)\right)^{\tan\left(\frac{\pi}{x}\right)}.$

Далее воспользуемся тригонометрическим соотношением:

$\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}.$

Применим это соотношение к тангенсу во второй степени:

$\tan(\frac{\pi}{x}) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2x}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right)}.$

Теперь предел принимает вид:

$\lim_{x \to 2} \left(\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right)\right)^{\frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2x}\right)}}.$

Обозначим $\frac{\pi}{2x}$ за $\theta$, тогда при $x \to 2$, $\theta \to \frac{\pi}{4}$. Теперь мы можем записать предел следующим образом:

$\lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} \left(\tan(\theta)\right)^{\frac{1}{\tan(\theta)}}.$

Заметим, что когда $\theta \to \frac{\pi}{4}$, $\tan(\theta) \to 1$. Таким образом, предел принимает форму неопределенности $1^{\infty}$, что не дает нам явного результата.

Для окончательного решения, нам потребуется применить правило Лопиталя или использовать другие методы, чтобы более точно оценить предел. Если вы не можете использовать правило Лопиталя, пожалуйста, уточните, какие еще методы разрешены для вас.