Question

Решите неравенство (метод группировки и разложения на множители): (2x²−7x +6)(x +2)≤(x²+ x −2)(x −2);

Answer 1

Ответ на фото////////////

Answer 2

Для решения данного неравенства методом группировки и разложения на множители, давайте начнем с его упрощения. Исходное неравенство выглядит следующим образом:

(2x² - 7x + 6)(x + 2) ≤ (x² + x - 2)(x - 2)

Перед тем как разложить на множители, давайте перемножим скобки слева и справа:

2x³ - 3x² - 10x - 12 ≤ x³ - 3x² - 2x + 4

Теперь вычитаем правую сторону неравенства из левой:

2x³ - x³ - 3x² + 3x² - 10x + 2x - 12 - 4 ≤ 0

x³ - 8x - 16 ≤ 0

Теперь наша задача - найти корни этого неравенства, а затем определить его знак в каждом из интервалов, где оно меняет знак. Для этого факторизуем его.

x³ - 8x - 16 = 0

Сначала найдем один корень, например, x = 4:

(4)³ - 8(4) - 16 = 64 - 32 - 16 = 16 - 16 = 0

Значит, x = 4 - это корень данного уравнения. Теперь разделим уравнение на (x - 4) с помощью синтетического деления или деления с остатком:

(x³ - 8x - 16) / (x - 4) = x² + 4x + 4

Теперь решим это уравнение:

x² + 4x + 4 = 0

(x + 2)² = 0

x + 2 = 0

x = -2

У нас есть два корня: x = 4 и x = -2. Теперь определим знак неравенства на интервалах между этими корнями и за пределами них.

1. Если x < -2, то (x + 2)² > 0, следовательно, x³ - 8x - 16 < 0. 2. Если -2 < x < 4, то (x + 2)² > 0, следовательно, x³ - 8x - 16 < 0. 3. Если x > 4, то (x + 2)² > 0, следовательно, x³ - 8x - 16 > 0.

Таким образом, неравенство x³ - 8x - 16 ≤ 0 выполняется на интервалах (-∞, -2] и [-2, 4], и не выполняется на интервале (4, +∞).