Question

Докажите, что для любого натурального числа n значение выражения (n+3)(n+4)–(n+1)(n+6) делится нацело на 6. Дам 15 баллов!!

Answer 1

Смотри................

Answer 2

Чтобы доказать, что для любого натурального числа n значение выражения (n+3)(n+4) - (n+1)(n+6) делится нацело на 6, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Метод математической индукции - это метод, который позволяет доказывать утверждения для всех натуральных чисел, начиная с некоторого базового случая (обычно n=1 или n=0), и затем доказывать, что если утверждение выполняется для некоторого числа n, то оно также выполняется и для числа n+1.

Базовый случай:

Подставим n=1 в выражение и проверим, делится ли оно нацело на 6: (1+3)(1+4) - (1+1)(1+6) = 4*5 - 2*7 = 20 - 14 = 6

Выражение равно 6, и 6 делится нацело на 6.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого натурального числа k выражение (k+3)(k+4) - (k+1)(k+6) делится нацело на 6.

Индукционный шаг:

Докажем, что если предположение индукции выполняется для числа k, то оно также выполняется и для числа k+1.

Раскроем скобки в выражении (k+4)(k+5) - (k+2)(k+7): (k+4)(k+5) - (k+2)(k+7) = k^2 + 9k + 20 - (k^2 + 9k + 14) = k^2 + 9k + 20 - k^2 - 9k - 14 = 6

Выражение равно 6, и 6 делится нацело на 6.

Заключение:

Мы показали, что для базового случая n=1 выражение (n+3)(n+4) - (n+1)(n+6) делится нацело на 6. Кроме того, мы показали, что если предположение индукции выполняется для числа k, то оно также выполняется и для числа k+1. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n значение выражения (n+3)(n+4) - (n+1)(n+6) делится нацело на 6.