Question

Решите уравнение: x⁴+8x-2-4√2=0

Answer 1

Знаю, что уравнения явно с ошибкой, но ничего. Воспользуемся методом Феррари и будем пытаться выделить полный квадрат и свести к кубическому уравнению, а там и Кардано поможет

$x^{4}+8\,x-4\,\sqrt{2}-2=0\Leftrightarrow x^{4}+2\,t\,x^{2}+t^{2}+\left(0-2\,t\right)\,x^{2}+8\,x-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}=0$$\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,x^{2}+8\,x-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}=0\\\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x^{2}+2\cdot \dfrac{8\,x}{-4\,t}\right)-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}=0$$\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x^{2}-\dfrac{4\,x}{t}\right)-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}\\\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x^{2}-\dfrac{4\,x}{t}+\dfrac{4}{t^{2}}-\dfrac{4}{t^{2}}\right)-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}=0$$\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x^{2}+2\,\left(-\dfrac{2\,x}{t}\right)+\dfrac{4}{t^{2}}\right)-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}+\dfrac{8}{t}=0\\\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x-\dfrac{2\,x}{t}\right)^{2}-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}+\dfrac{8}{t}=0$$-t^{2}+\dfrac{8}{t}-4\,\sqrt{2}-2=0\Leftrightarrow 2\,t^{3}-2\,\left(\left(-4\,\sqrt{2}-2\right)\,t\right)-16=0\\\\ t^{3}-\left(-4\,\sqrt{2}-2\right)\,t-8=0$

Так как $\mathrm{Q}=\left(\dfrac{\mathrm{p}}{3}\right)^3+\left(\dfrac{\mathrm{q}}{2}\right)^2=\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27} > 0$, где $p=4\sqrt{2}$, а $q=-8$, то уравнение имеет один вещественный корень. Воспользуемся формулой Кардано

$><img src=$

Обратная замену и получаем простое квадратное уравнение

$x^{2}-\sqrt{2}\,\sqrt{\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}+4}-\\-\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}-4}}\,x+$$+\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}+4}-\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}-4}+\\+\dfrac{2\,\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}+4}-\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}-4}}}=0$

Не составляет возможным решить данное уравнение ручками. Но корни этого уравнения - ответ

Answer 2

Давайте решим данное уравнение x⁴ + 8x - 2 - 4√2 = 0.

1. Начнем с добавления 4√2 ко всем частям уравнения:

x⁴ + 8x - 2 - 4√2 + 4√2 = 0

Теперь у нас есть уравнение x⁴ + 8x - 2 = 4√2.

2. Заметим, что мы можем разделить обе стороны на 4:

(1/4) * (x⁴ + 8x - 2) = (1/4) * 4√2

Это упрощается до:

(1/4) * x⁴ + 2x - 1/2 = √2

3. Теперь введем новую переменную, скажем, y = x². Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

(1/4) * y² + 2√y - 1/2 = √2

4. Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

y² + 8√y - 2 = 4√2

5. Перенесем 4√2 на левую сторону:

y² + 8√y - 4√2 = 0

6. Это квадратное уравнение относительно переменной y. Давайте решим его с помощью квадратного уравнения. Мы можем использовать дискриминант, чтобы определить, есть ли действительные корни.

Дискриминант (D) для уравнения вида ay² + by + c = 0 равен D = b² - 4ac.

В нашем случае:

a = 1 b = 8√y c = -4√2

D = (8√y)² - 4 * 1 * (-4√2) = 64y - (-64√2) = 64y + 64√2

7. Теперь мы можем применить дискриминант к уравнению:

D = 64y + 64√2

8. Теперь нам нужно найти значения y, при которых D неотрицателен (D ≥ 0), чтобы у нас были действительные корни.

64y + 64√2 ≥ 0

9. Разделим обе стороны на 64:

y + √2 ≥ 0

10. Отнимем √2 от обеих сторон:

y ≥ -√2

Таким образом, действительные корни уравнения x⁴ + 8x - 2 - 4√2 = 0 будут для тех значений x, которые удовлетворяют условию x² ≥ -√2.

Итак, корни будут в интервале x ∈ [-√2, √2]. Вы можете использовать численные методы, такие как метод Ньютона или бисекции, чтобы найти более точные значения корней в этом интервале.