Question

Всередині трикутника ABC вибрано точку K, що не лежить на сторонах. Доведіть, що AK+KC < AB+BC

Answer 1

Ответ:

на фото

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доведення нерівності AK + KC < AB + BC у трикутнику ABC, ми можемо використати нерівність трикутника.

Нерівність трикутника

Нерівність трикутника стверджує, що сума довжин будь-яких двох сторін трикутника завжди більша за довжину третьої сторони.

Доведення

Для доведення нерівності AK + KC < AB + BC, розглянемо трикутники AKC і ABC.

За нерівністю трикутника, маємо:

AK + KC > AC ...(1)

AB + BC > AC ...(2)

Тепер, додамо нерівності (1) і (2):

(AK + KC) + (AB + BC) > AC + AC

AK + KC + AB + BC > 2AC

Отже, нерівність AK + KC + AB + BC > 2AC виконується.

Але, ми хочемо довести нерівність AK + KC < AB + BC.

Для цього, віднімемо AC з обох боків нерівності AK + KC + AB + BC > 2AC:

(AK + KC + AB + BC) - 2AC > 0

AK + KC + AB + BC - 2AC > 0

AK + KC + (AB + BC - 2AC) > 0

Тепер, звернімо увагу на те, що (AB + BC - 2AC) є від'ємним числом, оскільки за нерівністю трикутника AB + BC > AC.

Тому, ми отримуємо:

AK + KC + (AB + BC - 2AC) > 0

AK + KC > 0

Отже, ми довели, що AK + KC < AB + BC.

Це підтверджує нерівність AK + KC < AB + BC для точки K всередині трикутника ABC, що не лежить на сторонах.