Question

Докажите,что выражение x^2-4x+7 приобретает положительные значения при всех значениях х и какое наименьшее значение приобретает это выражение и при каком значении х?

Answer 1

Запишем уравнение в виде квадрата, получится (x^2-4x+4)-4+7 = (x-2)^2+3, значит при любом x значение выражения больше 0( и больше или равно 3, так как мы добавляем 3

Минимальное значение -3

Answer 2

Выражение \(x^2 - 4x + 7\) является квадратным трёхчленом. Квадратный трёхчлен такого вида представляет собой параболу и может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от его коэффициентов.

Для начала определим, какие значения может принимать \(x^2 - 4x + 7\) при различных значениях \(x\). Чтобы найти наименьшее значение этого выражения, обратимся к его графику.

Для нахождения наименьшего значения \(x^2 - 4x + 7\) воспользуемся методом завершения квадрата.

Выражение \(x^2 - 4x + 7\) можно переписать следующим образом:

\[x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 3 = (x - 2)^2 + 3\]

Это выражение представляет собой сумму квадрата некоторого выражения \((x - 2)^2\) и постоянного положительного числа 3. Так как квадрат любного числа всегда неотрицателен, минимальное значение \(x^2 - 4x + 7\) будет достигаться при минимальном значении выражения \((x - 2)^2\), то есть когда \(x - 2 = 0\), т.е., \(x = 2\).

Таким образом, при \(x = 2\) значение \(x^2 - 4x + 7\) будет минимальным. Подставим \(x = 2\) в выражение:

\[2^2 - 4 \times 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3\]

Таким образом, наименьшее значение \(x^2 - 4x + 7\) равно 3 и достигается при \(x = 2\).

Теперь посмотрим на общий характер значения этого выражения при различных значениях \(x\). Поскольку \(x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 + 3\), то выражение \((x - 2)^2\) всегда неотрицательно. Следовательно, добавление положительного числа 3 к неотрицательному числу \((x - 2)^2\) дает значение, которое всегда больше или равно 3. Таким образом, \(x^2 - 4x + 7\) принимает только положительные значения при любых значениях \(x\).

Итак, \(x^2 - 4x + 7\) достигает своего наименьшего значения, равного 3, при \(x = 2\) и принимает положительные значения при всех значениях \(x\).