Question

Укажите все целые положительные числа, при делении на которые числа 3213, 3361, 3583 дают одинаковые остатки.

Answer 1

Если два числа дают одинаковые остатки при делении на r, то их разность делится на r. Воспользуемся этим, выпишем все попарные разности: 3361 - 3213 = 148, 3583 - 3213 = 370, 3583 - 3361 = 222. Все эти разности должны делиться на r, так что r – общий делитель чисел 148, 222 и 370.

Найдём общие делители этих чисел, для этого разложим их на множители:
148 = 2 * 2 * 37
222 = 2 * 3 * 37
370 = 2 * 5 * 37

Итак, искомые числа 1, 2, 37 и 2 * 37 = 74 (остатки равны 0, 1, 31 и 31 соответственно)

Answer 2

Для того чтобы найти все целые положительные числа, при делении на которые числа 3213, 3361 и 3583 дают одинаковые остатки, нам нужно воспользоваться китайской теоремой об остатках.

Китайская теорема об остатках утверждает, что если у нас есть система линейных сравнений вида: ``` x ≡ a (mod m) x ≡ b (mod n) x ≡ c (mod k) ``` где `x` - искомое число, `a`, `b`, и `c` - остатки, а `m`, `n`, и `k` - модули, и если `m`, `n` и `k` попарно взаимно просты (то есть их наибольший общий делитель равен 1), то существует решение для `x`, и оно будет определено с точностью до наименьшего общего кратного `M` для модулей `m`, `n` и `k`.

В нашем случае у нас есть три числа: 3213, 3361 и 3583. Мы ищем такие положительные числа, при делении на которые все три числа дают одинаковые остатки. Давайте обозначим этот общий остаток как `x`.

3213 ≡ x (mod m)
3361 ≡ x (mod n)
3583 ≡ x (mod k)

Теперь нам нужно определить, какие значения могут принимать `m`, `n` и `k`. Поскольку мы ищем положительные числа, то `m`, `n` и `k` должны быть больше или равны 1. Помимо этого, для решения системы линейных сравнений с помощью китайской теоремы об остатках, модули `m`, `n` и `k` должны быть попарно взаимно простыми.

Сначала давайте попробуем найти общий остаток `x`. Мы видим, что остатки у наших чисел неизвестны, поэтому пока не можем определить точное значение `x`.

Теперь рассмотрим условие взаимной простоты для модулей `m`, `n` и `k`. Если у нас есть три числа, и нам нужно найти их общий остаток `x`, то модули должны быть попарно взаимно простыми. Это означает, что НОД (наибольший общий делитель) любых двух модулей должен быть равен 1.

Мы не можем однозначно определить значения `m`, `n` и `k`, но можем предположить следующие возможные варианты:

1. `m = 1`, `n = 2`, `k = 3` 2. `m = 1`, `n = 3`, `k = 2` 3. `m = 2`, `n = 1`, `k = 3` 4. `m = 2`, `n = 3`, `k = 1` 5. `m = 3`, `n = 1`, `k = 2` 6. `m = 3`, `n = 2`, `k = 1`

Затем мы можем применить китайскую теорему об остатках для каждого из этих наборов модулей и чисел 3213, 3361 и 3583, чтобы найти общие остатки `x` в каждом случае. После этого можно будет определить, какие положительные числа соответствуют этим остаткам `x`.