Question

Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 1, а при делении на 5 дают остаток 3. Ответ запишите в виде формулы, используя неизвестную "n". Например, все чётные числа: "2n".Например, числа, которые при делении на 5 дают остаток 3: "5n+3". И объясните.

Answer 1

.........................................................................................

Answer 2

1) Составим ряд чисел, которые при делении на 5 дают остаток 3:

8;  13;  18;  23;  28;  33;  38; 43; 48; 53; 58; ....; 5n+3;....

2) Выберем из них те числа,  которые при делении на 3 дают остаток 1:

13; 28; 43; 58; ...; 15n-2;...

Ответ: 15n-2;

Answer 3

Чтобы найти все числа, которые при делении на 3 дают остаток 1 и при делении на 5 дают остаток 3, мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Данная теорема гласит, что если у нас есть две системы сравнений:

1. x ≡ a (mod m)
2. x ≡ b (mod n)

где m и n - взаимно простые числа (т.е. их наибольший общий делитель равен 1), то у этой системы сравнений существует единственное решение по модулю m * n.

В данном случае, нам нужно найти числа, которые удовлетворяют двум сравнениям:

1. x ≡ 1 (mod 3)
2. x ≡ 3 (mod 5)

Здесь m = 3, n = 5, и они взаимно простые (их наибольший общий делитель равен 1).

Теперь, используем формулу для решения системы сравнений с помощью китайской теоремы об остатках:

x ≡ a * n * y + b * m * z (mod m * n)

где:

• y - обратный элемент n по модулю m
• z - обратный элемент m по модулю n
• a = 1, b = 3 (поскольку x ≡ 1 (mod 3) и x ≡ 3 (mod 5))

Теперь найдем обратные элементы y и z:

Для нахождения обратного элемента по модулю можно воспользоваться расширенным алгоритмом Евклида.

Для n = 5 и m = 3:

• Найдем обратный элемент y по модулю m = 3:

3 * y ≡ 1 (mod 5)

y = 2

• Найдем обратный элемент z по модулю n = 5:

5 * z ≡ 1 (mod 3)

z = 2

Теперь подставим значения y = 2 и z = 2 в формулу:

x ≡ 1 * 5 * 2 + 3 * 3 * 2 (mod 3 * 5) x ≡ 10 + 18 (mod 15) x ≡ 28 (mod 15)

Теперь найдем все решения x по модулю 15:

x = 28 + 15 * k, где k - любое целое число.

Итак, все числа, которые при делении на 3 дают остаток 1 и при делении на 5 дают остаток 3, могут быть представлены в виде формулы:

x = 28 + 15 * k, где k - любое целое число.