Question

Решить уравнение в натуральных числах: x²+23=24y²

Answer 1

$x^2+23 = 23y^2+y^2\\(x-y)(x+y) = 23(y^2-1)$

Обе части равенства могут быть равны нулю только при x=y и y=1. Если обе части равенства ненулевые, то либо x-y либо x+y делится на 23, тк 23 - простое число.

Случай А) $x-y=23n,\quad n\in\mathbb{N}$

$></p> <p>У этого уравнения только один положительный корень</p> <p><img src=$

Таким образом мы должны найти все $n$, такие что $24n^2+1=N^2$. Это известный случай уравнения Пелля, в канонической форме записывается как $N^2-24n^2=1$. Самое его "минимальное" решение ищется легко: $N=5, n=1$. Следующее его решение конструируется следующим образом. Возведем $N+n\sqrt{24} = 5+\sqrt{24}$ в квадрат, получим $49+10\sqrt{24}$. Числа N=49, n=10 также являются решениями уравнения $24n^2+1=N^2$ (проверка: $2401=49^2$). Следующее решение конструируется аналогичным образом: $5+\sqrt{24}$ возводится в куб и упрощается до $485+99\sqrt{24}$, значит N=485, n=99 тоже решения.

Проще говоря $(5+\sqrt{24})^k = N_k+n_k\sqrt{24}$, где $k\in\mathbb{N}$,
и в свою очередь $y_k=N_k+n_k$, $x_k = N_k+24n_k$
Например для k=1 в итоге получим пару y=6, x=29

Случай Б) $x+y=23n, \quad n\in\mathbb{N}$

$(23n-2y)\cdot23n = 23(y^2-1)\\23n^2-2ny=y^2-1\\y^2+2ny-23n^2-1=0$

Это уравнение также имеет единственное положительное решение

$y = -n+\sqrt{24n^2+1}$. Мы уже выяснили, когда $24n^2+1$ является полным квадратом и поэтому это семейство решений также представим в виде

$y_k = N_k-n_k$, $x_k = 24n_k-N_k$.
Например для все того же k=1, имея n=1 и N=5, получим y=4, x=19

Ответ: пара чисел $(x,y)$ либо является $(1,1)$, либо принадлежит одному из двух семейств

$(N_k+24n_k,N_k+n_k)$  или $(24n_k-N_k,N_k-n_k)$, где числа $N_k$ и $n_k$ находятся из приведения выражения $(5+\sqrt{24})^k$ к виду $N_k+n_k\sqrt{24}$, а k является натуральным числом

Answer 2

Для решения этого уравнения в натуральных числах, нужно сначала перенести все слагаемые в одну сторону и получить квадратное уравнение относительно y:

x² + 23 - 24y² = 0

Затем нужно найти дискриминант этого уравнения:

D = b² - 4ac = 0 - 4(-24)(23) = 2208

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (0 + √2208) / (2(-24)) = -√69 / 24

y₂ = (-b - √D) / (2a) = (0 - √2208) / (2(-24)) = √69 / 24

Однако, мы ищем только натуральные решения, то есть целые положительные числа. Поэтому, мы отбрасываем отрицательный корень y₁ и рассматриваем только положительный корень y₂.

Теперь нужно подставить y₂ в исходное уравнение и решить его относительно x:

x² + 23 = 24(√69 / 24)²

x² + 23 = 69

x² = 46

x = ±√46

Опять же, мы ищем только натуральные решения, поэтому мы отбрасываем отрицательный корень x и оставляем только положительный.

Итак, единственное натуральное решение этого уравнения имеет вид:

x = √46, y = √69 / 24

Если вы хотите проверить свой ответ или получить более подробное объяснение, вы можете использовать один из следующих онлайн-калькуляторов:

- [Калькулятор Уравнений - Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/equation-calculator) - [Решение уравнений бесплатно · Калькулятор Онлайн](https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/equal-one/) - [Калькулятор уравнений, неравенств и систем онлайн](https://mathdf.com/equ/ru/)

Надеюсь, это помогло вам.

Answer 3

Для решения данного уравнения в натуральных числах \(x^2 + 23 = 24y^2\) мы можем воспользоваться методами теории чисел. В данном случае, уравнение является диофантовым уравнением, которое можно решить, используя методы алгебры и арифметики. Давайте разберемся с этим уравнением по шагам: 1. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \(x^2 - 24y^2 = -23\) 2. Теперь у нас есть диофантово уравнение вида \(a^2 - 24b^2 = -23\), где \(a = x\), а \(b = y\). 3. Мы видим, что данное уравнение очень похоже на диофантово уравнение Пелля, которое имеет вид \(x^2 - Dy^2 = 1\), где \(D\) — некоторое целое число. В данном случае \(D = 24\). 4. Перепишем наше уравнение в виде диофантова уравнения Пелля, добавив 24 к обеим сторонам: \(x^2 - 24y^2 = 1\) 5. Теперь мы можем попробовать найти пары целых чисел \((x, y)\), удовлетворяющие этому диофантовому уравнению. 6. Одной из пар, удовлетворяющей этому уравнению, является \((x, y) = (5, 1)\). То есть, \(x = 5\) и \(y = 1\) — одно из решений уравнения в натуральных числах. 7. Кроме того, это диофантово уравнение имеет бесконечно много решений, которые можно найти, используя теорию чисел и методы алгебры. Однако, для натуральных чисел среди них будет только конечное количество решений. Таким образом, одним из решений уравнения \(x^2 + 23 = 24y^2\) в натуральных числах является \((x, y) = (5, 1)\), и это решение можно доказать алгебраически.